AB,. B0 = .40.BA

En divisant membre à membre, il vient :

OA, OBj BO ~ AO '

et cette dernière équation peut immédiatement être mise sous la forme II. OA. OAj = OB. OB,.

C'est-à-dire : le produit des deux segments que deux points conjugués [A et A^, ou B et D^ etc.) d'une ponctuelle du premier ordre en involution déterminent avec le point central de cette ponctuelle est constant.

Si la ponctuelle a deux points doubles M et N (fig. 68), où se confondent deux points conjugués l'un à l'autre, il résulte de II, que :

m. OA. OA,= (Ôri)'--(ON)l

Le point central 0 divise donc en deux parties égales le segment MN limité par les deux points doubles. Cette équation exprime aussi (page 48) que M et N sont harmoniquement séparés par A et A,, ce que nous savions déjà.

Suivant que le produit OA. OAj est positif (égal à un carré OM") ou négatif, il y a ou il n'y a pas de points doubles. Dans le premier cas, A et A, sont d'un même côté du point central ; dans le second, ils sont situés de part et d'autre de ce point. Cette proposition résulte aussi d'un théorème établi antérieuieinent (page 1 iOj.