POINT CENTRAL. POINTS DOUBLES

Sur chacun des segments AA^, BB^, CG^, etc., limités par deux points conjugués de la ponctuelle en involution, décrivons un cercle ayant ce segment comme diamètre ; soit r le rayon de l'un quelconque de ces cercles, par exemple, de celui qui est décrit sur AAj, et soit d la distance de son centre K au point central 0. Nous avons alors (fig. 67 et 68)

par suite :

OA = OK — AK = d — r, OAj=OK + KA,=rf+r;

OA. OAj = [d —r){d-h r) — d^ — r'

Si la ponctuelle en involution a deux points doubles M et N (fig. 68), 0 est en dehors du cercle et d* — r* représente le carré de la longueur de la tangente t qu'on peut mener de 0 à ce cercle ; en effet f et r sont les côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est d. D'après l'équation II, la longueur de cette tangente est la même pour tous les cercles construits sur les segments et l'équation III montre qu'elle est égale à la demi-longueur du segment MN compris entre les points doubles. Si du point 0, nous décrivons une circonférence sur MN comme diamètre, cette circonférence coupera orthogonalement les circonférences décrites sur AApBB^,CGj, etc. On peut démontrer de même que ces dernières sont aussi coupées orthogonalement par toute circonférence qui passe par les points M et N (voir page 48).

Si la ponctuelle en involution n'a pas de points doubles (fig. 67), son point central se trouve à l'intérieur du cercle décrit sur AA^ et d^ — r- est négatif. Menons par 0 une corde PQ de ce cercle perpendiculairement à AAj ; chacune des moitiés OP ou 00 de cette corde forme avec d un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est r; de sorte qu'on a :

fP H- W = r\ ou fP — r'= — W = — ÔQ*.

D'après l'équation II, la longueur de cette demi-corde est la même pour tous les cercles décrits sur AAj, BB,, GC^, etc. ; ces derniers passent donc tous par P et Q. Par conséquent, les angles APA,, BPB^, GPGj, etc., sont droits et nous sommes conduits à cette proposition :

Si une ponctuelle en involution na pas de points doubles, il existe

GÉOMÉTRIE CHEUI». 11

162 GÉOMKTHIE DE TOSITION.

dans le plan qui la confient deux points P et Q, d'où elle est projetée par vn faisceau rectangulaire de irn/ons en involution, c'est-à-dire par un faisceau dont les rayons conjugués deux à deux sont perpendiculaires entre eux.

Le théorème suivant peut aussi servir à démontrer que les cercles construits sur AA^, BB^, CC^, etc., passent par chacun des points où se coupent deux quelconques d'entre eux :

Un faisceau de rayons en involution est rectangulaire, quand les angles que forment entre eux deux couples quelconques a^aj ('/ b^b^ de rayons conjugués sont droits.

L'exactitude de cette proposition s'établit en remarquant f[u'il n'y a qu'une seule manière d'accoupler involutivement les rayons d'un faisceau de manière que les rayons a et a^ se correspondent, ainsi que les rayons b et 6j. Or c'est précisément ce qui a lieu quand chaque rayon a pour correspondant le rayon qui lui est perpendiculaire. On déduit aussi de là que :

Si Von inscrit dans une courbe du second degré une série de triangles rectangles, ayant tous les sommets de leurs angles droits en un même point S de la courbe, leurs hypoténuses se coupent en un seul et même point.

En effet, les points de la courbe sont accouplés involutivement au moyen du faisceau rectangulaire S (voir page liQ).

Soit donné dans le plan d'une courbe du second ordre un faisceau U de rayons du premier ordre, dont le sommet n'est pas sur la courbe ; les rayons de U sont accouplés involutivement quand on fait correspondre deux à deux les rayons conjugués (page 147). Si le faisceau involutif de rayons ainsi déterminé est rectangulaire, son centre a une relation spéciale avec la courbe ; on lui donne le nom de foyer. Nous pouvons définir les foyers de la manière suivante :

Un foyer d'une courbe du second ordre est un point tel que deux rayons rectangulaires quelconques, qui se croisent en ce points sont conjugués par rapport à la courbe.

Un foyer ne peut pas être extérieur à la courbe ; car, sans cela, le faisceau involutif de rayons dont il est le sommet aurait deux rayons doubles, les deux tangentes à la courbe issues de ce point. Chaque foyer F est situé sur un axe de la courbe du second ordre ; en effet, un diamètre mené par F est un axe, puisqu'il est perpendiculaire à la corde conjuguée qui passe par F. La droite qui joint deux foyers F et F'

d'une courbe du second ordre est un axe de la courbe ; car elle est conjuguée aux deux perpendiculaires qui lui sont élevées par F et F'; son pôle coïncide donc avec le point d'intersection de ces perpendiculaires, qui esta Tinfini (voir page 112).

Le centre d'un cercle est un foyer de cette courbe. Deux rayons, conjugués par rapport à un cercle, ne sont perpendiculaires l'un à l'autre que si l'un ou l'autre d'entre eux est un diamètre ; il est facile de voir, d'après cela, que le cercle ne peut avoir d'autre foyer que son centre. Nous exclurons le cercle des recherches qui suivent.

Toute droite p, située dans le plan d'une courbe du second ordre, a une conjuguée p^ (fig. 09) qui lui est perpendiculaire ; c'est la perpendiculaire abaissée du pôle de p sur p. Soit a un axe de la courbe du second ordre et supposons qu'il soit rencontré obliquement en P et Pj

Fig.G3.

par. les rayons p et p^ ; chaque rayon du faisceau P est alors perpendiculaire au rayon qui lui est conjugué dans le faisceau P^. En effet, les faisceaux P et P^ seront rapportés projectivement l'un à l'autre, si à chaque rayon de l'un d'eux on fait correspondre celui qui lui est conjugué dans l'autre (page 105). Mais, si A est le pôle situé à l'infini de l'axer, les trois rayons rt, PA et p de P sont respectivement perpendiculaires aux rayons PjA, a et Pi qui leur sont conjugués dans P^ ; les deux faisceaux P et Pj engendrent donc un cercle, qui a PP^ pour diamètre, et deux rayons conjugués quelconques appartenant à ces faisceaux sont perpendiculaires entre eux. Nous avons ainsi la première partie du théorème suivant :

Considérons un axe a (Vime courbe du second degré; à chacun de ses points P correspond, un point P^ tel que deux rayons conjugués quelconques passant respectivement par P et ^ sont perpendiculaires

entre eux. Si Von fait correspondre deux à deux les points déterminés de cette manière^ les points de Vaxe a sont accoiiplés involulivement. La seconde partie du théorème se démontre comme il suit. Rapportons projectivementl'un à l'autre (page 105) les deux faisceaux de rayons parallèles, dont l'un a la direction de p et l'autre la direction de Pj, en faisant correspondre à chaque rayon de l'un des faisceaux le rayon qui lui est conjugué dans l'autre. La droite a est coupée par ces faisceaux suivant deux ponctuelles projectives ; et ces dernières sont en involution, parce que deux quelconques de leurs points, comme P et Pj se correspondent doublement.

Si cette ponctuelle en invohUion a, a deux points doubles, chacun d'eux est un foyer de la courbe du second ordre : si a na pas de points doubles, chacun des deux points qui projette a suivant un faisceau rectangulaire de rayons {page 162) est un foyer de la courbe.

En effet, deux rayons rectangulaires quelconques, issus d'un pareil point, sont conjugués. Dans le second cas, les foyers sont situés sur l'axe de la courbe ' qui est différent de a; ils constituent les points doubles d'une ponctuelle involutive, située sur ce second axe et construite de la même manière que la première.

Aucune courbe du second ordre n'a plus de deux foyers ; en effet, toute droite qui joint deux foyers est un axe et il n'y a que le cercle qui ait plus de deux axes. L'axe a d'une ellipse ou d'une hyperbole sur lequel sont situés les deux foyers est appelé axe principal ; l'autre est dit axe conjugué.

Tout cercle circonscrit à un triangle rectangle, qui a son hypoténuse sur l'axe conjugué et dont les deux autres côtés sont conjugués Vun à Vautre, coupe Vaxe principal aux foyers de la courbe.

Cette proposition découle immédiatement de la deuxième partie du théorème précédent.

L'hyperbole est coupée par son axe principal ; en effet, Taxe qui ne la rencontre pas ne peut pas contenir les foyers, puisque ceux-ci doivent être intérieurs à la courbe. Les foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole sont ériuidistants du centre de la courbe (pages 44-45) ; en effet, dans la ponctuelle involutive «, dont les foyers sont les points doubles, le point central est conjugué au point à l'infini, puisque l'autre axe de la courbe est conjugué à toutes les droites qui lui sont normales. En général, les foyers sont harmonicpiement séparés par deux droites conjuguées quelconques rectangulaires entre elles.

Si la courbe du second degré est une parabole, et si par suite a est son axe, les deux faisceaux projectifs de rayons parallèles, dont il a été question plus haut, ont la droite de l'infini pour élément correspondant commun; en effet, cette dernière, qui est tangente à la parabole, est conjuguée à elle-même (page 102). Dans la ponctuelle en involution a, l'un des points doubles coïncide donc avec le point à l'infini, qui doit, pour cette raison, être regardé comme un foyer (impropre) de la parabole. La parabole n"a par conséquent qu'un seul foyer propre qui doit, comme second point double de a, partager en deux parties égales le segment compris entre deux points conjugués, P etP^.

Soient F et F^ les deux foyersd'une courbe du second ordre, dont l'un peut être à l'infini sur la direction des diamètres parallèles, si la courbe est uneparabole. Deux droites conjuguées quelconques SP et SPj, perpendiculairesentre elles(fig. 69), sontharmoniquement séparées par les points F et Fj et conséquemment aussi par les rayons SF et SF^; elles bissectent donc l'angle compris entre SF et SF^ (page 45).

Si S est un point de la courbe, l'une des droites SP et SPj est tangente à la courbe ; si le point S est extérieur, SP et SP^ bissectent encore l'angle compris entre les deux tangentes qu'on peut mener du point S à la courbe, parce que ces dernières sont aussi séparées harmoniquement par SP et SP^ (page 102). Nous obtenons ainsi les théorèmes suivants :

Toute tangente à une courbe du second ordre fait des angles égaux avec les deux droites qui joignent son point de contact aux fogers de la courbe. Si deux coniques ont les mêmes foyers (sont homofocales) les deux tangentes, menées en tout point commun à ces deux courbes, se coupent orthogonalenient .

Si V on joint le point de rencontre de deux tangentes aux foyers d'une courbe du second ordre, Vune des droites ainsi menées fait avec Vune des tangentes le même angle que Vautre droite fait avec Vautre tangente.

La polaire f d'un foyer F de la courbe du second ordre a reçu le nom àe. directrice de la courbe; Tellipse et l'hyperbole en ont deux, tandis que la parabole n'a qu'une seule directrice propre. Cette dernière courbe nous donne ce théorème :

Deux tangentes PA et PB à une parabole sont perpendiculaires entre elles, quand leur point de rencontre P est situé sur la directrice.

En effet, dans ce cas, la polaire de P passe par le foyer F (fig. 70) et contient les points de contact A et B des deux tangentes ; chaque tangentes fait donc avec AB le même angle qu'avec un diamètre quelconque. En conséquence, dans le triangle APB, la somme des angles en A et B est égale à la somme des angles que PA et PB font avec le diamètre PC qui passe par C, c'est-à-dire à l'angle P ; et comme la somme des angles A,P,B est égale à deux droits, l'angle P doit être un angle droit.

D'autres propriétés remarquables des foyers d'une courbe du second ordre découlent de ce fait que deux rayons conjugués quelconques pas-

Ki^ 70

sant par un foyer sont perpendiculaires l'un à l'autre. Nous avons entre autres celle-ci :

Le segment déterminé sur une tangente par son point de contact et son point de rencontre avec une directrice est projeté du foyer correspondant suivant un angle droit.

Les côtés de cet angle sont en effet deux rayons conjugués passant par le foyer F, parce que le point où la tangente coupe la directrice f a pour polaire la droite qui joint F au point de contact de la tangente.

Soient TA et TB deux tangentes quelconques d'une courbe du second ordre (fig. 71) et soit AB la polaire du point T; le point d'intersection P de ÂB avec f est le pôle de la droite TF. et PF est perpendiculaire à TF, parce que ces deux rayons sont conjugués. En même temps FA et FB sont harmoniquement séparés par FT et FP, parce que A et B sont barmoniquement séparés par P et FT. En conséquence, les angles que

forment entre eux FA et FB sont bissectés par FP et FT (page 45); ou en d'autres termes :

Si Von joint par des droites un foijer propre d'une courbe du second ordre aux points de contact et au point d'intersection de deux tangentes, la dernière droite fait des angles égaux avec les deux premières.

Menons par A et B (fig. 71) deux parallèles à FT qui coupent res-

"t>ti ~.

pectivement la directrice f en Aj et Bj ; A^ et B^ sont aussi séparés liarmoniquement par P et FT. Les angles que forment FA^ et FB^ sont donc aussi bissectés par FT et FP. Il résulte immédiatement de là que les triangles A^AF et B^BF ont leurs angles égaux, qu'ils sont semblables et qu'on a la proportion :