TRANSFORMATION PAR RAYONS VECTEURS RÉCIPROQUES

nalement le premier cercle dont les points coïncident avec leurs correspondants.

En effet, elle a en commun avec la circonférence qui lui correspond les points P, Pi, et deux autres points qui se correspondent à eux-mêmes ; et elle est tangente en ces deux derniers points à deux droites issues de M, parce que Ton a : MP.MPi, =:R^

70. Imaginons qu'on ait dans le plan deux systèmes de points P, Q, R... et P,, Qi, Rj... qui se correspondent suivant le principe qu'on vient d'exposer; faisons pivoter l'un des systèmes autour de M, jusqu'à ce que chacun de ses points ait décrit une demi-circonférence, deux points correspondants, tels que P et Pj, Q et Q,... seront encore sur une même droite avec M, mais de part et d'autre de ce point et l'on aura, comme précédemment,

MP. MPi = MQ. MQ 1 = MR. MR, = ... = constante.

L?i puissance, c'est-à-dire le produit constant des rayons vecteurs des points cori'espondants aura une valeur non plus positive mais négative. Nous obtenons ainsi un second cas de transformation par rayons vecteurs réciproques, qui se distingue du premier en ce qu'aucun point ne coïncide avec son correspondant. Dans ce cas, le plan est représenté ou transformé sur lui-même d'une manière conforme ; à chaque droite cor-^ respondun cercle passant ])ar M et, en général, à chaque cercle y. cor respond un cercle a^; le centre M est encore un centre de similitude de deux cercles correspondants, mais c'est le centre de similitude intérieure.

71. Les points de l'espace peuvent aussi être accouplés deux à den\, d'après le principe des rayons vecteurs réciproques, en prenant à volonté le centre M et la valeur positive ou négative de la puissance. Cette généralisation peut s'effectuer de la manière la plus simple eu accouplant d'abord deux à deux les points d'un plan ({uelconque mené par M et en faisant ensuite tourner ce plan autour d'un axe passant par M. Pour chaque position du plan, deux des points coiTespondants qu'il contient donnent deux points correspondants de l'espace.

7*2. Faisons tourner le plan autour de la ligne des centres de deux cercles correspondants, qui passe par M ; ces deux courbes décrivent deux surfaces sphériques, Donc :

Toute sphère •/. se transforme par rayons vecteurs réciproques en une

210 GÉOMÉTRIK DE l'OSITlON.

sphère y., et M est un centre de similitude de x et /., (m" 68). A tout plan r correspond une sphère passant })ar M, qui est tangente en M à un plan parallèle à V.

La dei'nière partie de ce Ihéurèiue doit être regardée coiiune an cas particulier de la première; cependant on peut facilement la démontrer séparément. On voit de plus (|ue :

Deux plans (fuelconques de V espace se coupent sous le même am/le que les sphères qui leur correspondent.

Deux tétraèdres infiniment petits, dont les sommets se correspondent, ont d'après cela leurs angles plans et leurs dièdres égaux; comme un peu de léllexion le démontre, ils sont directement semblables, quand la puissance de Iransformalion est négative, et symétriquement semblables, quand elle est positive. Comme leurs faces homologues sont semblables dans tous les cas, on voit que :

Deux surfaces correspondantes sont représentées d'une manière conforme Vune sur Vautre au moi/en des rayons vecteurs réciproques.

17). D'après cela, pour l'eprésenter d'une manière conforme une sphère •/. sur un plan quelconque -, on choisira pour centre de transformation M l'un des deux points de y, où les plans tangents sont parallèles à - et l'on prendra pour puissance de la transformation le produit des deux segments MP et MPi que y. et 22 déterminent sur une droite quelconque menée par M. Au plan 2 correspond ainsi une sphère (jui a en commun avec la sphère donnée x les points P et M, ainsi que le plan tangent en M, et (fui ]iar suite coïncide avec y.. Donc :

Si Von projette [stércographiquement) une sphère y. de Vun de ses points M sur un plan - parallèle au plan tangent en il/, la surface y. sera représentée d^une manière conforme sur le plan -..

On fait un fréquent usage de cette projection stéréographique de la sphère pour la construction des cartes géographiques. On arrive ainsi à conserver aux angles sur la carte la môme grandeur que celle des angles qui leur correspondent à la surface de la terre ; les longueurs des dilférentes lignes de la surface sont au contraire représentées par des longueurs différentes, parce fpi'une sphère ne ])eut se représenter sans déliguration sur un plan.

7i. A un cercle correspond toujours un cercle dans la transformation par rayons vecteurs réciproqiies.

Va\ cil'îM. les deux sphères dont les corres])()n(iantes passent [)ar le premier cercle se conpcnl toujours sui\ant le second, Kn ])nrliculier,

IHANSFORMATluN PAR KAYoNS VECTEUUS REClPlKiQUES. 211

si l'un d'eux passe par M, Tauti-e dégénère en une droite (n° 68). Les inéridiens et les parallèles de la surface de la terre se transforment d'après cela en deux systèmes de cercles orthogonaux ; les projections des méridiens sont des cercles qui se coupent en deux points (les projections du pôle \ord et du pôle Sud) et les projections des parallèles sont des cercles orthogonaux aux précédents qui n'ont aucun point réel commun. Les cercles de la sphère qui passent par M sont les seuls qui soient représentés par des droites sur le plan de projection.

En particulier, si l'on place le centre M de projection au pôle Nord on au pôle Sud, les parallèles sont représentés par des cercles concentriques et les méridiens par des diamètres de ces cercles.

75. Etant données trois sphères arbitraires, on peut en général construire un cercle qui leur soit orthogonal, c'est-à-dire qui les coupe à angle droit; ce cercle est situé dans le plan passant par les centres des sphères, et son centre est un point d'égale puissance par rapport à ces trois surfaces. La construction n'est impossible que si un ])oint du plan des centres est situé à l'intérieur ou sur la surface de chacune des trois sphères. Prenons un point de ce cercle pour centre des vecteurs réciproques, le cercle se transformera en uwehgne droite et les ti'ois sphères en trois autres sphères qui seront coupées normalement par la droite et dont les centres seront situés sur elle. Donc trois sphèi'es qui jie ])assent pas par un seul et même point peuvent toujours être transformées par rayons vecteurs réciproques en trois autres sphères dont les centres sont sur une même droite.

76. Un système de sphères, engendré ])ar le mouvement continu d'une sphère variable, est en général enveloppé par une surface F qui ])Ossède un système de lignes de courbure circulaire. En effet, chaque sphère du système est tangente à F le long du cercle qui lui est comnmn avec la sphère immédiatement voisine du système ; et comme les normales à F, aux points de cette ligne, se coupent au centre de la sphère, le cercle en question est une ligne de courbure de F. Si maintenant la surface F est transformée par rayons vecteurs réciproques en une autre surface Fj, les lignes de courbure circulaire de F se transforment en lignes de com-bure circulaire de F^, puisque F^ est l'enveloppe du système des sphères qui correspondent à celles dont F est l'ejiveloppe. Donc toutes les surfaces, (pii peuvent être transformées en surfaces de révolution par rayons vecteurs réciproques, possèdent conmie ces dernières un système de lignes de coui'bure cii'culaire.

77. L'une des plus reinarquables parmi ces surfaces est la Cyclide découverte par Dupin. Elle est renvelo|)pe d'une sphère variable qui, dans son mouveinenl continu, reste constainnienl tangente à trois sphères données. D'après ce qui précède, on peut facilement établir la théorie de la cyclide en démontrant les théorèmes suivants :

Une cyclide de Dupin se transforme toujours par rayons vecteurs réciproques en une autre cyclide; quand on choisit convenablement le centre de transformation, on peut avoir une cyclide de révolution qui est l'enveloppe d'une sphère tournant autour d'une droite (N" 75). La cyclide possède deux systèmes de lignes de courbure circulaire et est touchée suivant celles-ci par deux systèmes de sphères ; les centres de ces sphères et les lignes de courbure sont situés avec deux quelconques de ces dernières dans deux plans de symétrie de la cyclide, normaux entre eux. Chaque sphère d'un système est tangente à toutes les sphères de l'autre système suivant les points d'une ligne de courbure circulaire. Deux lignes de courbure peuvent être réunies par une même sphère, quand elles font partie d'un même système; dans l'autre cas, elles ont un point cominim et se coupent à angle droit en ce point.

78. La cyclide n'a aucun point double (réel), ou elle a deux points nodauxoù se coupent toutes les lignes de courbure d'un même système, ou bien elle a un point cuspidal où elles sont tangentes entre elles. On obtient des formes essentiellement différentes pour ces trois espèces principales, si l'on transforme la cyclide de révolution correspondante par rayons vecteurs réciproques, en prenant le centre de transformation à l'intérieur de la cyclide de révolution, sur cette surface ou à l'extérieur. Les deux dernières espèces peuvent être représentées d'une manière conforme sur un cône droit ou un cylindre au moyen d'une transformation par rayons vecteurs réciproques.

Les plans, dans lesquels se trouvent (deux à deux) les lignes de courbure de l'un ou de l'autre système, se coupent suivant une seule et même droite; elle est située dans l'un des plans de symétrie et est perpendiculaire à l'autre.

La cyclide est touchée pai' deux [)lans délcrniiiiés en lous les points d'un cercle. Si l'on joint par des sphères les lignes de courbure de l'un ou de l'autre système avec un |)()inl (juclconrfu»» M. ces surfaces se coupent toutes suivant un cercle.

Lorsqu'une cyclide s'étend à l'inlini (ce (fui peut a\oir lieu ])our les trois genres de ces surfaces), elle possède deux lignes de courbure \vv~

tiligne qui se coupent orthogonalemeut. Les plans de toutes les autres lignes de courbure passent en partie par l'une, en partie par l'autre de ces deux droites ' .

Remarque. — Une surface F est Loiichée en un point quelconque P par une infinité de sphères ; elle est coupée en même temps par ces surfaces suivant des courbes qui passent deux fois par P et ont deux tangentes en ce point. On trouve par uu calcul très simple cjue ces couples de tangentes sont symétriques par rapport aux tangentes aux deux lignes de courbure de la surface F qui passent par P et que, par conséquent, les angles formés par chacun de ces couples de tangentes sont bissectéspar les lignes de courbure. Lorsque la sphère tangoite est une sphère de courbure de la surface F, c'est-à-dire lorsque son centre coïncide avec Vun des deux centres de courbure du point P, les deux tangentes à la courbe d'intersection se confondent avec celles des lignes de courbure de F, et P est un point de rebroussement de la courbe d'intersection. Il résulte immédiatement de là que :

Si Von transforme une surface F par rayons vecteurs réciproques en une autre surface F ^, les sphères qui lui sont tangentes, et en particulier les sphères de courbure.^ se transforment respectivement en sphères tangentes ou en sphères de courbure de F^. Et comme la transformation tC altère pas les angles, les lignes de courbure de F seront transformées en lignes de courbure de Fi.

La dernière partie de ce théorème a été démontrée par M. Liouville.

79. Les sommets de toutes les surfaces coniques du second oi-dre, tangentes aux six côtés d'un hexagone gauche quelconque, ont pour lien géométrique une surface réglée; cette dernière passe par les trois diagonales principales de l'hexagone. (Voir pages 89-90.)

<S0. Les trois diagonales principales d'an hexagone gauche, dont les six côtés sont situés sur une surface réglée du second ordre, se coupent en un même point.

81 . Une ponctuelle u et un faisceau S de rayons du premier ordre,

1. Pour plus de détails, consulter Reye, Sijnthetische Géométrie der Kugeln. Leipzig, 1819, pages 58 à 64.

ffui ne sont pas situés dans des plans parallèles, sont rapportés projeciiv(Mnent l'un à l'autre ; les rayons qu'on peut mener par les points de u parallèlement aux rayons correspondants de S, constituent l'un des systèmes réglés d'un paraboloïde hyperbolique (voir page 95).

82. Une ponctuelle u et un faisceau de plans v sont projectifs et leurs lieux ne sont ])as perpendiculaires l'un à l'autre ; les normales qu'on peut abaisser des points de u sur les plans correspondants de v constituent l'un des systèmes réglés d'un paraboloïde hyperbolique (n" 81).

85. On mène les normales à une surface réglée en tous les points d'une de ses génératrices; elles constituent l'un des systèmes réglés d'un paraboloïde hyperbolique équilatère (n" 82 ; voir page 124).

84. Par un point quelconque, on mène des plans perpendiculaires à tous les rayons d'un système réglé ; ces plans forment un faisceau de plans du premier ou du second ordre suivant que le système réglé appartient à un paraboloïde hy]:)erbolique ou à un hyperboloïde à une nappe, (page 126).

85. Tous les plans qui passent par un point fixe et coupent un hyperboloïde à une nappe donné suivant des paraboles, enveloppent une surface conique du second ordre, parallèle au cône asymptotique.

86. Construire une surface réglée, connaissant deux rayons a et b non situés dans le même plan et trois points en dehors de a et b, ou trois plans tangents ne passant pas par a et b.

87. Quel est le lieu d'un point qui est harmoniquement séparé d'un point donné A par une surface réglée. Quelle ligne ce lieu géométrique a-t-il en commun avec un plan passant par A ?