TRANSFORMATION PAR RAYONS VECTEURS RÉCIPROQUES

sèment proportionnel à celui de son point correspondant Pj. C'est pour cette raison que M"" Liouville ' a donné à cette transformation le nom de principe des rayons vecteurs réciproques. M est dit le centre et r' la puissance de la transformation par rayons vecteurs ré,ciproques. A chaque point situé à Tintérieur du cercle correspond un point extérieur et à chaque point situé à l'infini dans le plan correspond le centre M. Les points de la circonférence du cercle coïncident a^ ec leurs coi'i'espondants,

00. La polaire d'un point P par rapport au cercle donné est la perpendiculaire à M P qui passe par le point correspondant P,. On tiou-

vera donc les points Pj, Q^Rj qui correspondent aux points P, (},

Pi d'une droite quelconque g en abaissant du pùle G de g des

perpendiculaires sur les droites MP, xMQ, MU Il résulte de

là que :

A une droite quelconque g coj'respond une circo)ifcrence de cercle y dont le diamètre perpendiculaire à g est limité par M et par le pôle G de la droite.

Réciproquement, à toute circonférence de cercle 7 passant par le pointM correspond une droite g; en effet, la droite qui joint deux poinis A, B, dont les correspondats Ap Jî^ sont situés sur Y) ^i pour correspoidante une circonférence de cercle qui passe par A^, Bj et M et ([ui pai' conséquent est identique avec y-

C'est en raison de cette propriété que Mobius "" a donné à la coi'res- [)ondance du second degré dont il s'agit le nom de correspondance circulaire,

07. Par le centre M de transformation menons une parallèle à la droite g ; elle est tangente en M au cercle y correspondant à g, parce ([u'elle est connue j/ perpendiculaire au diamètre MG de y- Nous eu concluons que :

Deux droites quelconques f et g du plan se coupent sous le môme angle que les circonférences o et y qui leur correspondent.

Deux triangles infiniment petits qui se correspondent ont donc leui's angles égaux et sont semblables ; ou en d'autres ternies :

A Vaide des rayons vecteurs réciproques, le plan est représenté ou

1. Liouville. Journal de nialhénialiques, V" série, tome XII, page 265.

2. MoDius. Mémoires de la Sociélé ro\jale des sciences de Saxe. Leipzig, 18ô.") tome IL pages o31-o95, et comptes rendus des séances de la même Société, 185o, pages 14-24.

transformé sur lui-même fVune manière conforme, de telle sorte que les portions infiniment petites de deux figures correspondantes sont semblables entre elles.

Ce théorème ne cesse d'être applicable que pour la région iiiliiiinieut petite du plan qui avoisine le point M.

68. Une droite pouvant être considérée comme un cercle de rayon infiniment grand, le théorème qui exprime qu'à tout cercle passant ])ar M correspond une droite, et réciproquement (n" 66), peut être regardé connue un cas particulier de la proposition suivante :

Toute circonférence de cercle ■/. est transformée par rayons vecteurs réciproques en une circonférence de cercle y.j ; M est un centre de similitude de ■/, et -/.j.

Pour démontrer cette proposition plus générale, prenons sur x un point fixe P et un point mobile Q ; désignons par Pj et Q^ les deux points qui leur correspondent et soient P' et Q' les points où les sécantes MP et MQ rencontreut respectivement x pour la seconde fois. Le théorème sur les segments qu'un cercle intercepte sur des sécantes nous donne :

MP.MP' = i\iQ..M(J'.

Mais en \ertu du principe des rayons vecteurs réciproques, on a : MP.MP,==MQ.MQ,==r-.

Par suite :

m" my

MP/~MQ,

et les triangles MP'Q' et MPjQj sont semblables (ce qui peut se représenter par A MP'Q' co A M P^Q^, le signe «o indiquant la similitude).

Si donc Q, et par suite Q', parcourt la circonférence x, 0^ décrit une courbe semblable à x et semblablement placée, c'est-à-dire une circonférence de cercle X,. M est le centre de similitude extérieure, et Q' et Q^ de même que P' et Pj sont des points homologues des deux circonférences x et x^; les points correspondants deux à deux, connue Q et Q, ou P et Pj sont donc situés inversement par rapport à M sur x et x, .

69. Toute circonférence de cercle, qui passe par un couple de points correspondants P,Pi, se correspond à elle-même, et elle coupe orthoqo-