FORMES KLÉMENTAIRES PR0.IE(.T1VES

00. Le problème réci|)i'(jquc du 11" 89 donne un faisceau de rayons du troisième ordre; on demande de le construire.

91. Construire la courbe du quatrième ordre, engendrée pai- deux faisceaux projectifs de rayons du second ordre (page 142).

92. Tracer le faisceau de rayons du quatrième ordre engenfiré par deux courbes projectives du second ordre.

95. Sur une courbe du second ordre est placé le sommet S d'un angle de grandeur constante qui détermine une corde AB de la courbe. Si l'on fait pivoter cet angle autour de S, la corde A B décrit un faisceau de i-ayons du second ordre (page 158). Si l'angle donné est droit. AB tourne autour d\m point fixe (page 162).

94. On circonscrit à une courbe du second ordre un triangle ABP tlont la base AB est située sur une tangente donnée u de la courbe et a une longueur constante. Si cette base se déplace en glissant sur u, le sommet P du triangle décrit une nouvelle courbe du second ordi-e (page 158). En particulier on déduit de là que :

95. Si un angle de grandeur donnée est circonscrit à une parabole et si ses deux côtés se déplacent en restant constamment tangents à cette courbe, son sommet décrit une hyperbole, et la droite qui joint les deux points de contact engendre un faisceau de rayons du second ordre. L'angle droit seul fait exception (Théorème 105).

96. On donne une surface conique du second ordre et deux droites a et b ne se coupant pas, qui sont ou parallèles à deux rayons de la surface conique ou perpendiculaires à deux de ses plans tangents. Si une troisième droite se meut de telle manière qu'elle renconti-e les droites a et b et soit toujours parallèle à un rayon de la surface conique ou (dans le second cas) toujours normale à un plan tangent de cette surface, elle décrit un hyperboloïde à une nappe (pages 156-157).

97. Une ponctuelle rectiligne du premier ordre m et ime ponctuelle h^ du second ordre projectivement rapportées entre elles, mais qui ne sont pas dans un même plan et qui n'ont pas de point correspondant commun, engendrent un système de droites que nous appellerons ww système réglé du troisième ordre'. Une droite g coupe au moins un rayon de ce système et au plus trois, comme on le voit facilement (page 154) en projetant la ponctuelle m de l'axe ^suivant un faisceau de

1. Voir la tlièse de M. Benno Klein. Sm- la i^urj'ace ri'db'c <lu troislèvu- ordre et sa repréiientation sur un plan. 1876;

plans. Le système réglé du troisième ordre sera en général projeté d'un point quelconque suivant un faisceau de plans du troisième ordre. (Voir page 155.)

98. Tout plan passant par w, qui coupe la courbe k^, contient deux rayons du système réglé du troisième ordre. Si maintenant l'on projette les deux ponctuelles projectives u et /.:'' du point d'intersection D de deux rayons de cette espèce, on obtient un faisceau de rayons du premier ordre et une surface conique du second ordre, qui sont projectifs, (pii ont deux rayons correspondants communs et qui par conséquent (page 156) engendrent un faisceau de plans d du premier ordre. Tous les couples de rayons du système réglé, qui sont situés dans les plans passant par u, se coupent donc suivant les points d'une droite d et de chacun de ces points le système réglé est projeté suivant un faisceau de plans du premier ordre perspectif à u et A*. Nous pouvons donner aux deux droites u et d le nom de directrices du système réglé du troisième ordre, puisque tous les rayons du système les rencontrent. La droite d ne coïncide avec u que si u coupe la courbe k- ; dans ce cas particulier, la directrice u est en même temps un rayon du système réglé.

99. Soit S un point appartenant à un rayon a du système réglé du troisième ordre, mais qui n'est situé sur aucune des directrices u ei d. Les ponctuelles projectives u et A;^ seront projetées de ce point suivant un faisceau de rayons du premier ordre et une surface conique du second ordre f{ui ont le rayon a correspondant commun et qui, par suite (page 158) engendrent un faisceau de plans du second ordre perspectif à w et à A:^. Le système réglé du troisième ordre sera donc projeté de l'mi quelconque S de ses points suivant ce faisceau de plans du second ordre. Mais comme ce dernier est projectif au faisceau de plans d, qui est lui-même perspectif aux ponctuelles u et k^, il en résulte que :

100. Le système réglé du troisième ordre sera aussi engendré par le faisceau de plans du premier ordre d, sur l'axe duquel les rayons du système se coupent deux à deux, et par un faisceau de plans du second ordre projectif à d, dont le sommet peut être pris à volonté sur le système réglé. Ce second mode de génération est réciproque au premier qu'on a indiqué, et par conséquent le système réglé du troisième ordre est réciproque à lui-même. Si nous partons du second mode de génération du système, nous arrivons à des théorèmes, réciproques de ceux qu'on a démontrés précédemment. Citons entre autres les suivants :

FORMES ÉLÉMENTAIRES PROJECTIVES. 217

Le système réglé du troisième ordre est projeté d'un point quelconque, situé sur l'un de ses rayons, suivant un faisceau de plans du second ordre,

Le système réglé du troisième ordre est coupé par un plan quelconque, passant par l'un de ses rayons, suivant une courbe du second ordre,

et tous ces faisceaux projetants de plans et ces courbes d'intersection du second ordre sont projectifs entre eux, à la ponctuelle u du premier ordre et au faisceau de plans d du premier ordre. Les courbes d'intersection du second ordre sont perspectives au faisceau d et à tous les faisceaux projetants de plans du second ordre.

101 . Le système réglé du troisième ordre est situé sur une surface réglée F'' du troisième ordre, qui est rencontrée par une droite quelconque en trois points au plus et qui est coupée par un plan quelconque suivant une courbe du troisième ordre. La surface F^ passe deux fois par la directrice d, qui contient un point double propre ou isolé de toute section plane de la surface. Les plans qui passent par les rayons du système réglé du troisième ordre coupent chacun la surface F"' suivant le rayon qu'ils contiennent et suivant une courbe du second ordre; ces courbes sont rencontrées chacune par le rayon correspondant du système réglé en deux points, dont l'un est situé sur la ligne double d, tandis que l'autre est le point de contact du plan de la courbe avec la surface F'". Les plans qui passent par les rayons du système réglé sont donc des plans tangents de la surface F''; les plans passant par la directrice M, dans lesquels ces rayons sont situés deux à deux, sont des plans tangents doubles de F'\

102. Nous distinguons trois espèces de surfaces réglées du troisième ordre. En effet, une des courbes du second ordre k^ situées sur F^peut comprendre dans son intérieur le point où son plan coupe l'axe u des plans tangents doubles; ou bien ce point peut lui être extérieur, ou bien enfin elle peut passer par lui ; et il est de même pour toutes les autres courbes k- de la surface. Dans le premier cas (comme cela résulte du premier mode de génération, n° 97), chaque plan passant par u contient deux rayons du système réglé du troisième ordre et en même temps deux de ses rayons se coupent en chaque point de d. Dans le second cas, les deux plans cuspidaux de la surface qui passent par u et sont tangents aux courbes du second ordre k^, séparent les plans tangents doubles propres et les points doubles propres de la surface des

plans tangents et points doubles isolés qui, coiiinie les précédents, passent par u ou sont situés sur d. Enfin le troisième cas peut être considéré comme le cas limite des deux premiers; quand il se réalise, les deux directrices u et d coïncident (et il en est de même des deux plans cuspidaux) .

105. Une droite se meut en s'appuyant constamment sur deux droites u, (] (qui ne se rencontrent pas) et sur une courbe du second ordre I,' (pii est coupée par d, mais qui n'est dans un même plan ni avec d, ni avec u ; elle décrit une surface réglée du troisième ordre (n° 97) dont les points doubles sont situés sur d et dont les plans tangents doubles passent par u. Gomment s'énonce le théorème réciproque?

FOIJMES ELEMEJNTAIRES EN INVOLUTION.

104. Si l'on prend une ponctuelle involutive sur une tangente d'une conique, et si de deux points conjugués quelconques Ton mène deux nouvelles tangentes à la courbe, ces dernières se coupent sur une droite déterminée (page H7). Il en résulte en particulier que :

105. Les sommets de tous les angles droits, qu'on peut circonscrire à une parabole, sont situés sur une même droite; il en est de même pour les sommets de tous les triangles isocèles circonscrits dont la base est située sur une tangente donnée de la ])arabole.

106. Les sommets de tous les triangles circonscrits à une conique, dont les bases sont situées sur une tangente donnée et sont bissectées par son point de contact x\, sont (d'après le n" 104) situés sur une même droite, qui est le diamètre de la courbe passant par A, Les droites qui joignent dans chaque triangle les points de contact des deux autres côtés, sont parallèles à la base.

107. Deux plans tournent autour de deux droites fixes u, u^ de manière à être constamment parallèles à deux diamètres conjugués d'une conique; leur droite d'intersection décrit un cône ou une surface réglée du second ordre (jui passe parw et v^.

108. Amener en position involutive deux faisceaux projectifs de rayons ou de plans du premier ordre (voir n" 15).

109. On donne deux couples de points A,Aj et B,!)^ d'une ponctuelle involutive ; construire au moyen du quadrilatère complet le point G^con-