FORMES ÉLÉMENTAIKES EN INVOLUTION

jugué à un cinquième point C (page 155) et, en particulier, déterminer le point central de la ponctuelle dont le conjugué est à l'infini.

110. On connaît deux couples de diamètres conjugués d'une conique, (lonstruire le diamètre conjugué à un cinquième diamètre f(uelconque (pages 148 et 153).

111. Si par un point quelconque on mène des parallèles aux trois couples de côtés opposés d'un quadrilatère complet, on obtient trois couples de rayons d'une involution (page 155); on en déduit que :

112. Si deux couples de côtés opposés d'un quadrilatère complet se coupent normalement, les deux autres côtés opposés restants sont aussi perpendiculaires l'un sur l'autre (page 162). Ou : les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point, le centre des lianleurs du triangle.

115. Toutes les courbes du second ordre, qui passent par les sommets et le centre des hauteurs d'un triangle quelconque, sont des hyperboles équilatères dont les asymptotes sont perpendiculaires l'une à l'autre (page 155 et n° 112). On peut toujours circonscrire une hyperbole équilalère à un quadrilatère quelconque ; cette courbe passe par les centres (les hauteurs des quatre triangles formés avec les sommets du quadrilatère.

114. Les côtés d'un triangle constituent avec la ligne de l'infini un quadrilatère complet, dont les trois couples de sommets opposés sont pj-ojetés du centre des hauteurs suivant trois couples de rayons perpendiculaires entre eux. Il résulte de là (voir page 155 et 150) que :

115. Deux tangentes d'une parabole se coupent rectangulairemcnt au centre des hauteurs de tout triangle formé de tangentes à cette courbe. Par conséquent, les centres des hauteurs de tous ces triangles sont situés sur une même droite (n° 105). En particulier, les centres des hauteurs des quatre triangles, compris dans un quadrilatère complet quelconque, sont situés sur une même droite.

116. Soit ABGD un rectangle circonscrit à une ellipse ou à une hypei'bole; deux tangentes de la courbe se coupent rectangulaii-ement en tout point S, qui est situé sur un même cercle avec les sommets A, B, G, D (page 156); en effet, les deux couples de sommets opposés du rectangle sont projetés de S pai- deux couples de rayons rectangulaires. Nous déduisons de là que : les sommets de tous les angles droits qu'on peut circonscrire à une ellipse ou à une hyperbole sont situés sur un ceirle.

220 GÉOMKTlilE DE POSITION.

Ce théoroiiic peut être regardé comme un cas particulier du suivant

117. Deux tangentes d'une courbe k du second ordre, qui passent par deux points conjugués d'une })onctuelle involutive u, se coupent en général sur une autie courbe du second ordre.

Deux points d'une courbe du second ordre, par lesquels passent deux rayons conjugués d'un faisceau S en involution, sont situés en général sur un rayon d'un faisceau du second ordre.

11 y a exception quand la courbe k est tangente à la droite u {n" 104). En général, on peut cii'conscrire à la courbe un quadrilatère abcd dont deux sommets opposés ac et bd coïncident avec deux points conjugués P, P de u. Soit S un point où se coupent deux tangentes de k qui passent par deux autres points conjugués Q, Qi de m ; ces tangentes SQ, SQj, les rayons SP, SP^, et le troisième couple de rayons qui projettent de S deux sommets R, Rj du quadrilatère abcd différents de P et P,, forment une involution (page 15i) et par conséquent les rayons SR, SR^, passent aussi par deux points conjugués de u. Rapportons les faisceaux de rayons R et Ri projectivement l'un à l'autre de telle mamière que deux rayons homologues passent par deux points conjugués de u, ils engendrent une courbe du second ordre qui est le lieu géométrique du point S. On peut donc encore dire : Les couples de tangentes d'une courbe du second ordre qui sont harmoniquement séparées par deux points donnés se coupent en général sur une courbe du second ordre. Sous cette forme, le théorème de gauche est un cas particulier du suivant dont nous ne donnons pas la démonstration :

Les couples de tangentes d'une courbe du second ordre, qui sont conjuguées par rapport à une seconde courbe du second ordre, se coupent en général en des points appartenant à une troisième courbe du même ordre.

Les couples de points d'une courbe du second ordre, qui sont conjugués par rapport à une seconde courbe du second ordre, sont situés en général sur les tangentes d'une troisième courbe du même ordre.

On trouve facilement que la troisième coui'be (théorème de gauche) passe par chacun des points de contact de toute tangente commune aux deux premières courbes.

il 8. Si parmi les trf)is cercles, construits sur les diagonales d'un

(luadrilalère complet comme diamètres, deux quelconques se coupent, le troisième passe aussi par leurs deux points d'intersection. Les côtés de tout angle droit qui a Tun de ces points d'intersection pour sommet sont tangents à une courbe du second ordre inscrite dans le quadrilatère.

119. Toutes leshyperboles circonscrites à un quadrilatère inscriptible dans un cercle ont leurs axes parallèles ; les directions de ces axes sont les bissectrices des angles que font entre eux les côtés opposés du rpiadrilatère. En effet, les rayons doubles d'un faisceau involutif de rayons, dont trois couples de rayons conjugués sont parallèles aux trois couples de côtés parallèles du quadrilatère inscriptible, sont perpendiculaires l'un à l'autre.

120. Par le point milieu M d'une corde d'une courbe du second degré on mène deux sécantes ; ces droites déterminent un quadrilatère complet inscrit dans la courbe, les deux autres couples de côtés opposés de ce quadrilatère interceptent sur la corde deux segments qui ont aussi le point M comme point milieu.