Chemin

La majeure partie des iDgénieurs ne connaissent la géométrie de position que de nom. Car cette importante création des savants de notre époque, qui se distingue d'une manière si particulière par l'ampleur du champ qu'elle embrasse, par la beauté de la forme et la simplicité des développements qu'elle fournit, est malheureusement encore fort peu répandue ; et bien (jue la géométrie moderne doive être comptée parmi celles des parties des sciences mathématiques dont on s'occupe le plus, bien qu'elle se prête à un grand nombre a'applications remarquables dans les sciences techniques et naturelles, elle n'a pas encore réussi à se faire admettre d'une manière générale dans l'enseignement. En raison même de cette situation, il ne sera peut-être pas inutile, avant d'entrer en matière, d'indiquer en quelques mots la place que la géométrie de position occupe par rapport aux autres branches de la géométrie actuellement enseignées, et de donner quelques théorèmes et problèmes de nature à bien faire comprendre l'esprit de cette science aux lecteurs.

La géométrie pvre de position se distingue essentiellement de la géométrie des anciens et de la géométrie analytique en ce qu'elle ne fait aucun usage de la notion de mesure ou de grandeur. Par opposition, la géométrie ancienne pourrait donc s'appeler la géométrie de la mesure, ou géométrie métrique. Ainsi dans la géométrie de position, il n'est pas question de division de segments de droites en parties égales, d'angles droits, de perpendiculaires, de rapports, de proportions, de mesure de

GÉOMÉTRIE CHEJIIN. • 1

surfaces. On parle encore bien moins de raj^ports trigonométriques et on ne dit pas un mot des équations analytiques des lignes coiu'bes. Car tous ces sujets qui font l'objet de la géométrie ancienne supposent des mesures. Cependant, à la fin d(; chaque grande section, nous donnerons comme suppléments quelques applications de la géométrie de position à des i)ro))riétés métriques, en supposant connues la planimétrie et la trigonométrie. Nous ne nous occuperons pas plus des triangles isocèles ou équilatéraux ([ue des triangles rectangles ; et en dehors de ce que nous ])oui'r()iis dire dans les sup])léments, le rectangle, les polygones réguliers et le cercle seront exclus de nos considérations. Ainsi, c'est seulement dans ces suppléments que nous parlerons du centre, des axes et des foyers des courbes dites du second degré ou des coniques; par contre, nous fei'ons connaître des propriétés de ces lignes qui sont bien plus générales et plus importantes que celles auxquelles on se borne dans la plupart des traités de géométrie analytique. Nous aurons même à nous frayer une voie nouvelle pour arriver aux coniques, puisque dans la géométrie de position nous n'aurons pas recours au cône à base circulaire qui a servi aux anciens, ni aux équations que les disciples de Descartes ont employées pour définir ces courbes. Après ce que nous venons de dire, il est à peine nécessaire d'ajouter qu'on ne rencontrera aucun calcul dans les leçons qui suivent. C'est seulement dans les applications à la géométrie métrique (jue nous ferons quelquefois usage du signe d'égalité.

D'après cela, nous ne nous servirons que d'un très petit nombre des connaissances géométriques qu'on enseigne dans les écoles. Il sera au contraire de la plus grande utilité d'avoir une certaine habitude de se représenter, de concevoir les figures géométriques, sans être obligé de recourir à leur construction effective. Car il n'est pas toujours possible de faciliter la compréhension de chaque théorème par un dessin, notamment quand ce théorème se rapporte à des figures de l'espace. Nous aurons fré([ueinment à faire appel h la faculté du lecteur de se représenter les objets. Comme cette faculté est souvent mise en jeu dans la géométrie d(;scriptive, la connaissance de cette dernière science sera'fort utile ; et réciproquement aussi la géométrie de position formera une excellente préparation pour la géométrie descriptive. D'une manière générale, on peut dire f[iie de toutes les branches de la géométrie la descriptive est la plus propre à faciHter l'élude de la géométrie de j)0sition, parce qu'elle est en relation très intime avec elle. Car dans la

géométrie descriptive aussi, on considère bien moins les relations de grandeur que la position des figures ou des éléments, soit les uns par rapport aux autres, soit ])ar rapport aux plans de projection; il faut toutefois dii'e ([ii'on n'y repousse pas l'emploi du cercle et de l'angle droit. On verra surtout que la perspective, ou projection centrale, joue aussi un grand rùle dans la géométrie de position et qu'un grand nombre d'expressions employées dans celle-ci sont empruntées à la première.

Par sa méthode même, la géométrie nouvelle ou moderne se trouve pour ainsi dire en oi)])Osition avec la géométrie analytique ; car elle emploie la synthèse comme dans la géométrie des anciens. Nous partirons d'un petit nombre de formes fondamentales; les relations simples ({u'on peut établir entre elles nous conduiront alors aux formes dites du second ordre, auxquelles appartiennent aussi les coniques, et nous ])ermettront en même temps de reconnaître les propriétés principales de ces formes. De la même manière, en partant des formes du second ordre, nous ])ourrons en suivant la même marche passer successivement à d'autres formes nouvelles d'ordre plus élevé. Dans nos recherches, nous, sommes obligés de renoncer à l'analyse, ce puissant instrument des mathématicpies modernes, parce que nous n'employons pas de relations métricfues; car pour pouvoir appliquer le calcul aux formes de l'espace, il faut d'abord les exprimer au moyen de nombres, c'est-à-dire les mesurer. En raison de la méthode qu'elle emploie et par opposition à la géométrie analytique, la géométrie moderne est souvent désignée sous le nom de « (jéoméirie .synthétique ».

Par cela même cjue dans la géométrie de position nous n'employons j)as les rapports métriques, les théorèmes auxquels nous arrivons sont très généraux et très étendus. Ainsi, par exemple, les plus importantes des propriétés des coniques qu'on démontre dans les traités de géométrie analytic{ue ne sont que des cas très particuliers de théorèmes cpe nous apprendrons à connaître plus tard. A cet égard, quelques exemples pourront servir à mieux caractériser la matière qui fera l'objet des leçons qui suivent.

Dans le tracé des constructions et dans le dessin en général, on a souvent à résoudre le problème suivant : par le point inaccessible d'intersection de deux droites (convergentes), tracer une troisième droite La géométrie ordinaire ou métrique permet de trouver autant de points qu'on veut de cette droite, à l'aide du théorème que trois transversales issues d'un même point déterminent des segments proportionnels sur

Figl

des droites parallèles. La géométrie de ])osilion iiolis doiiiie immédiatement une solution plus siiupl(\ Jùi eiïet, prenons un point quelconque P en dehors des deux droites a et h (fig. i) et menons par ce point un nondjre fiuelconque de transversales. Maintenant, dans chacun des quadrilatères formés par deux transversales quelconques et les lignes a

et è, cherchons le point d'intersection des diagonales; 40US ces points sont sur une nu^-me droite qui passe par le point d'intersection de a et b.

La démonstration se déduit facilement du théorème important de la division harmonique dans un quachilatère, théorème qui peut s'énoncer de la manière suivante : Prenons sur une droite (fig. 2) trois points A,P),C. et construisons un quadrilatère quelconc{ue de telle manière que deux côtés opposés se coupent en A, qu'une diagonale passe par P et que les deux autres côtés opposés se rencontrent en C ; la deuxième diagonale coupe la droite ABC en un quatrième point D entièrement déterminé. En construisant différents quadrilatères satisfaisant aux premières conditions, on vérifie aisément que toutes leurs secondes diagonales passent efi'ectivement par ce quatrième point 1). Les points A,lî,C,l) sont apjielés quatre points Iiarmoniques conjugés et on dit ([ue D et P sont sé])arés harmoniquement par les points A et G. Dans l'arpentage, ce théorème peut, dans certains cas, être utilisé pour prolonger une ligne droite au delà d'un ohstacle, d'un nuu- par exemple, autour duquel on ])eut tourner.

Parmi les théorèmes qui se rapportent au triangle, nous ne donnerons que le suivant : Si deux triangles A, P, G et A^, P^, G, (fig. 5j, sont

Fig-.2

situés de telle manière que les lignes AA^, BB^, GC^ qui joignent les sommets homologues se coupent en un seul et même point S, les côtés homologues AB et A^B^, BC et B,G,, CA et C^A^ se coupent en trois points G,, A,, Bj, qui sont sur une même droite U; et réciproquement. La fio-ure qui sert à Tintelligence du théorème mérite de fixer l'attention ; c'est un exemple particulier appartenant à une famille de diagrammes importants et remarquables à cause d'une espèce de symétrie qu'ils présentent. Gette figure se compose de dix points et de dix droites: sur cha({ue droite se trouvent trois- des dix points et par chaque point passent trois des dix droites.

Aux courbes du second ordre ou coniques se rattache une niiî.-e série de théorèmes. On sait par la géométrie analytique (et nous le

démontrerons plus loin) qu'une courbe du deuxième ordre est complètement déterminée par cinq points ou cinq tangentes. Mais on sait aussi combien il faut de temps pour calculer effectivement et pour construire une conique déterminée de la sorte. La géométrie de position établit deux théorèmes très importants sur les courbes du second ordre qui nous permettent, étant donnés cinq points ou cinq tangentes d'une pareille courbe, de construire facilement autant de points ou de tangentes nouvelles qu'on voudra et par suite de tracer rapidement la courbe elle-même. Ceux des lecteurs qui connaissent ces théorèmes savent aussi à combien de propositions préliminaires il faut avoir recours pour les démontrer par la géométrie analytique. Le premier, ([ui a été énoncé pour la première fois par Pascal, établit (pje

dans tout hexagone inscrit dans une courbe du second ordre les trois couples de côtés opposés se coupent en trois points situés en ligne droite. Le second, dû àBrianchon, consiste en ce que dans tout hexagone circonsci-it à luie coni([uc les trois diagonales obtenues enjoignant deux à deux les sommets oj^posés se coupent en un seul et même point. Ces deux théorèmes se démontrent très aisément pour le cercle. On voit que dans chacun d'eux il n'est pas question des proportions de la conique, de son centre, de ses axes et de ses foyers. Aussi, précisément à cause de cela, ces théorèmes ont-ils la plus grande étendue et la plus grande généralité , et on pourrait en faire la base fondamentale de

toute la théorie des coniques.

]\ar exemple, le théorème de Pascal permet de résoudre l'important problème du tracé d'une tangente en un point donné, même quand la conique est définie par cinq points et sans qu'elle soit complètement tracée.

Le problème qui consiste à mener les tangentes à une courbe du second ordre peut dans bien des cas se résoudre au moyen d'un théorème qui constitue une des plus importantes propriétés des coniques, mais qui ne se trouve pas toujours dans les traités de géométrie analytique, parce que sa démonstration analytique est assez compliquée et qu'elle est peu propre à faire ressortir cette propriété sous son véritable jour. Si d'un point A (fig. 4) situé dans le plan d'une courbe du deuxième ordre, mais non sur cette courbe, on lui mène des sécantes, deux quelconques d'entre elles déterminent f[uatre points sur la courbe, par exemple k,L,.M,\. Deux quelconques des lignes qui joignent ces points et qui sont dilférentes des sécantes, comme LM et KN ou KM et L^ se cou})ent en un pohit d'une ligne parfaitement déterminée a, qu'on nomme la polaire du ])oint donné A. Si le point A est en dehors de la couibe , sa polaii'e a la coupe aux points de contact des deux

tangentes qu'on peut mener de A à la courbe ; si A est dans l'intérieur de la courbe, celle-ci n'est pas rencontrée par a. Nous pouvons faire usage de ce théorème pour mener par un point donné une tangente à la conique, en ne nous servant que de la règle. Sur chaque sécante menée par A se trouvent quatre points remarquables et qui sont : A lui-même, puis le premier point d'intersection B avec la courbe, ensuite le point C d'intersection de la droite avec la polaire a de A , et enfin le second point de rencontre D avec la courbe. Ces quatre points sont quatre points harmoniques et la polaire a contient ainsi tout point qui est harmoniquement séparé de A par les deux points de la courbe. Les théorèmes sur le centre et les diamètres conjugés cies coniques sont des cas tout à fait particuliers des théorèmes qu'on vient d'énoncer. Ces derniers s'étendent facilement aux surfaces du second ordre, parce qu'elles ont en général une courbe du second ordre commune avec un plan qui les coupe.

Ces quelques exemples, qu'on pourrait multiplier à l'infini, font bien voir à quel ordre de théorèmes s'attache la géométrie de position ; ils sont différents de ceux que traite par exemple la géométrie analytique, mais ils ne sont pas à coup sur moins importants. Nous ferons remarquer en passant que cette dernière science cherche à déterminer la position des tangentes au moyen des angles qu'elles font avec les rayons focaux, ou des segments qu'elles déterminent sur les axes, et que par suite elle ramène tout aux propriétés métriques. Bien entendu, il n'est question ici que des éléments de la géométrie analytique auxquels se bornent la plupart des traités et non pas des méthodes nouvelles si fécondes qu'on doit à l'esprit pénétrant de Plucker.