PREMIERE LEÇON

Projection de points et de droites.

Section par des plans et des droites.

Les six f orna es fondamentales de la géométrie nouvelle.

On sait que les nombreuses conceptions qui forment la base de la géométrie des anciens, de la trigonométrie et de la géométrie analytique reposent pour la plupart sur la notion de la mesure et par suite ne peuvent trouver leur application dans la géométrie pure de position. On ne devra donc pas s'étonner que la géométrie moderne ait également créé pour son usage un nombre important de notions ou conceptions caractéristiques que nous nous proposons de faire connaître dans cette leçon et les suivantes et que nous aurons constamment à appliquer.

Le points la droite et \e plan sont les éh' me ni s simples de la géométrie moderne. En règle générale, nous désignerons les points par des majuscules latines, les droites par des minuscules et les plans par des lettres de Talphabet grec. Les droites (que nous appellerons souvent aussi rayons) et les plans devront toujours être considérés comme illimités, quand nous n'aurons pas expressément spécifié le contraire. Nous pouvons combiner ces éléments les uns avec les autres pour en constituer des formes composées, en regardant Tun quelconque d'entre eux comme le lieu (le support) d'un système des autres. Nous arrivons ainsi à ce ([u'on appelle les formes fond amentales de la géométrie moderne. Mais avant de les définir, nous allons doinier ci-après (pioUiues considérations destinées à servir de préparation.

l'ROJEQTlONS ET SECTIONS. 9

Quand nous considérons un objet, par exemple un ])àt.iment., chaque point (visible) envoie à notre œil un rayon auc[uel on donne le nom d'ima<i(', de royon jierspecfif ou encore de rayon de projection de ce point. L'image ou la piojection du bâtiment tout entier se compose donc d'un très grand nombi-e de rayons dont chacun projette de l'œil un ou plusieurs points. Si un certain nombre de points sont situés sur une droite ne passant pas par l'œil, tous leui's rayons de projection se trouvent dans le plan qu'on peut mener par l'œil et la droite ; ou autrement, la droite sera projetée de l'œil suivant un plan qu'on appelle aussi l'image ou \e, plan projetant de cette droite. De même, en général, une courbe sera projetée suivant une surface conique. Nous pouvons avoir la configuration ou la représentation du bâtiment sur un plan au moyen d'une section, en coupant par ce plan chaque rayon de projection suivant un point et chaque plan projetant suivant une droite. Nous obtenons ainsi dans le plan, comme section ou trace du cône projectif, une image perspective, une projection du bâtiment. Cette projection envoie évidemment à l'œil les mêmes rayons que le bâtiment lui-même et par suite aussi elle est très bien de nature à nous fournir une représentation de ce dernier. On voit journellement de pareilles images perspectives planes d'objets de l'espace aux montres des photographes.

La majeure partie des lecteurs connaissent depuis longtemps ce mode de projection, sous le nom de projection centrale. 11 sert de base à la science de la perspective et tous les autres systèmes de pi'ojection usités dans la géométrie descriptive peuvent être considérés comme des cas particuliei's de celui-ci. Par exemple, pour que les rayons de projection soient parallèles, comme dans la projection orthogonale, nous n'avons qu'à supposer l'œil éloigné jusc[u'à l'infini. De même les ombres que les objets déterminent sur des plans, quand ils sont éclairés par un point situé à distance finie ou infinie, ne sont évidemment que les projections de ces objets, le point lumineux venant seulement occuper la place de l'œil.

Faisant maintenant abstraction de toute considération d'optique, nous continuerons à nous servir encore des expressions que nous venons d'employer, iniaç/e, rayoîi, projection, section, etc. , en prenant à la place de l'œil un point quelconque S et à la place de l'objet déterminé, ou de la construction, un système quelconque Q de points et de droites dans l'espace. Ce système Q est de la soi'te projeté du point S par un

système de rayons et de j)laiis, à savoir cliafjue point par nn rayon et chaque droite, ne ])assant pas S, ])ar un plan. Le point S |)eut donc être considéré comme le support ou le lieu de tous ces rayons et de tous ces plans qui, pris ensemble, donnent l'image ou la projection du système. Su])posons au conti-aire que nous ayons dans l'espace un système quelconque - de ])lans et de droites; un plan nouveau quelconque - le coupera suivant un système de droites et de points, chaque plan donnant en o^énéral une droite et chaque droite un point. Le plan il se présente alors à nous comme le support de toutes ces droites et de tous ces points qui dans leur ensemble constituent la section (la trace) du système -.

Nous pouvons aussi projeter d'une droite et avoir des sections par des droites. Chaque point situé en dehors d'une droite g détermine avec g un plan, ou bien est projeté de g suivant un plan; de même aussi tout plan ne passant pas par g est coupé par cette droite suivant un point. D'après 'cela, la droite se présente ainsi à nous, tantôt comme support de plans qui se coupent suivant elle, tantôt comme support de points situés sur elle.

Ces considérations nous conduisent aux formes géométriques suivantes qu'on appelle formes fondamentales et qui occupent une place importante dans la géométrie moderne.

L'ensemble de tous les points situés sur une même droite s'appelle une ponctuelle (ou bien encore une forme rectiligne) ; les points de la droite considérés isolément sont les éléments de la ponctuelle. Nous regardons ces points comme rigidement liés les uns aux autres de telle sorte que leur situation relative demeurera invariable quand on déplacera la droite qui est leur support. Une portion de ponctuelle limitée par deux points constitue un segment.

L'ensemble de toutes les droites passant par un même point et situées dans un même plan s'appelle un faisceau de rayons, ou simplement un faisceau. Le point commun d'intersection des rayons prend le nom de centre du faisceau ; chaque rayon indéfiniment prolongé de chaque côté du centre est un élément du faisceau. Nous supposons aussi qu'ici les éléments sont liés les uns aux autres d'une manière invariable. On peut à volonté considérer comme support ou lieu du faisceau soit le centre, soit le plan dans lequel se trouvent les rayons. Une portion de faisceau limitée par deux rayons considérés comme côtés constitue un angle plan complet. 11 se compose à& deux angles plans simples opposés

FORMES GEOMETRIQUES FONDAMENTALES.

par le sommet. Si dans un faisceau quelconque S (fig. 5) on prend quatre rayons «,/>/-,(/, ils forment deux couples de rayons séparés les uns des autres. En effet a et c sont séparés l'un de l'autre par h et d, de telle sorte que dans le faisceau on ne peut pa^-ser àe a k c sans franchir 6 ou cl.

L'ensemble de tous les plans, illimités dans tous les sens, qui passent par une même droite sei'a appelé par nous faisceau de plans et la di'oite recevra le nom d'axe du faisceau. De même que dans les formes rectilignes, nous supposerons que les éléments du faisceau, c'est-à-dire ses plans, sont invariablement liés les uns aux autres de manière que leurs positions relatives ne puissent changer. Une portion du faisceau, limitée par deux plans considérés comme faces, s'a])pellera un angle dièdre complet; elle se compose de deux dièdres simples opposés ])ar le sommet. Sur quatre éléments d'un faisceau, il y a aussi deux couples de plans séparés les uns des autres.

Quelquefois, quand il ne ])Ourra pas y avoir d'équivoque, nous désignerons sous le nom de ponctuelle une forme se composant seulement des points isolés et cfes segments d'une droite. De même nous appellerons quelquefois faisceau une forme composée seulement d'éléments isolés et d'angles d'un faisceau. Mais il faut toujours bien se rappeler que, nous écartant des définitions ordinaires, nous avons considéré l'angle comme partie d'un faisceau.

Les ponctuelles, les faisceaux de rayons et les faisceaux de plans prendront le nom de formes fondamentales simples ou de formes fondamentales de première espèce. Nous aurons toujours à nous représenter les éléments d'une forme fondamentale simple, par exemple les plans d'un faisceau de plans, comme quelque chose de simple en soimême, en faisant abstraction des formes (figures) dont ils peuvent être les supports ou les lieux. Dans les faisceaux de rayons, la compréhension de cette conception se trouve facilitée par ce fait que nous donnons justement le nom de rayons aux droites dont l'ensemble constitue le faisceau. Car sous le nom de raijon^ on entend généralement une droite considérée pour elle-même et indépendamment des points qu'elle renferme ou des plans dont elle peut être l'intersection. Pour les plans,

12 GliOMKTRlE DE POSITION.

il nous manque malheureusement une seconde dénomination qui corresponde à la j)récédente.

Nous ])()uvons aussi nous représenter une quelconque des formes de première espèce comme engendrée au moyen de chacune des autres. Ainsi une ponctuelle VBCl) (fig. 6) est projetée d'un point quelcon([ueS situé en dehors d'elle suivant un faisceau de rayons ahcd, dont cette ponctuelle est une section. De même la ponctuelle ADCB est projetée suivant le faisceau adch. Vu faisceau quelconque de plans a <? y 8 est coupé par un plan quelconque ne passant pas ])ar l'axe suivant un faisceau de rayons dont le centre est sur l'axe; et tout faisceau de rayons est projeté d'un point quelconque situé en dehors de son plan suivant un faisceau de plans. Enfui si une droite ne rencontre pas l'axe d'un faisceau de })lans, elle coupe ce faisceau suivant une ponctuelle, chaque plan du faisceau donnant un point de la ponctuelle ; et toute ponctuelle

se projette d'un axe qui ne se trouve pas dans un m^me plan avec elle suivant un faisceau de plans. Ces considérations nous autorisent ainsi à regarder les ponctuelles, les faisceaux de rayons et de jilans conmie des formes fondamentales de même espèce, de la iM'emière espèce ; car nous pouvons d'a])rès cela concevoir qu'une ponctuelle contient autant de points qu'un faisceau renferme de rayons ou de plans.

Nous arotis deux foi'ines fondamentales de seconde espèce; ce sont : le système plan et la (jerhe de raijons. Nous donnons le nom de système plan à l'ensemble de tous les points et de toutes les droites contenues dans un même plan; ce plan lui-même est le support ou le //eu du système. D'après cela, un système plan contient comme élément non seulement des points et des rayons, mais encore une infinité de ponctuelles et de faisceaux de rayons ; car tous les points du système qui sont sur une môme droite constituent par leur ensemble une ponctuelle ; et de même tous les rayons du système qui passent par un même point forment un faisceau. (Test donc avec juste raison que nous considérons le système plan connue une foime fondamentale d'espèce supérieure à

FOHMES GÉOMÉTRIQUES FONDAMENTALES. 13

la premièi'e. Nous donnons le nom de gerbe de i-atjons à l'ensemble de tous les rayons et de tous les plans qu'on peut imaginer passer par un point de l'espace considéré comme centre. (>omme éléments, la gerbe contient non seulement des droites et des plans, mais encore un nombre infini de faisceaux de rayons et de plans. Car tous les plans de la gerbe qui passent par un seul et même axe forment un faisceau de plans ; et de même tous les rayons qui sont dans un seul et même plan forment un faisceau de rayons. Ainsi la gerbe est bien réellement une forme fondamentale d'espèce supérieure aux formes élémentaires. Le nom de gerhe^ qui doit rappeler à l'esprit une multi})licité d'ordre plus élevé que le faisceau^ est dû à Von Staudt; il est très heureusement choisi. Mais nous avons aussi bien le di'oit d'appeler la forme en question gerbe de plans que gerbe de rayons, \mvce qu'elle renferme comme éléments aussi bien des plans que des rayons.

A peine est-il nécessaire de faire remarquer à nouveau que, dans le système plan et dans la gerbe, les éléments qui les composent doivent être supposés invariablement liés les uns aux autres et d'une manière rigide, de telle sorte que dans la gerbe, par exemple, la position respective des rayons , plans et faisceaux les uns par rapport aux autres ne changera pas quand on déplacera d'une manière quelconque le centre qui est le lieu ou le support de la gerbe.

Nous devons nous représenter que dans une gerbe il y a autant de rayons et de plans que de points et de droites dans un système plan et nous sommes par suite en droit de considérer ces deux formes fondamentales comme étant de la même espèce, la seconde. Car nous pouvons concevoir la gerbe engendrée au moyen du système plan et réciproquement. En effet, projetons un système plan 2 d'un point S qui ne fasse pas partie du système, de telle manière que tout point P de - soit projeté de S suivant un rayon SP et que tout rayon de ^ le soit suivant un plan ; nous obtenons ainsi une gerbe S que nous nommerons une image ou projec^îo/i du système plan - et dont le système plan est une secfio)t. Pour rendre ces conceptions plus faciles, imaginons que 21 soit un terrain plan, illimité, émaillé de couleurs variées, qui s'étend à nos pieds, et supposons que le point S, extérieur au système, soit notre œil. Chaque point du terrain envoie alors à notre œil un rayon lumineux, chaque droite donne naissance à un plan lumineux. Si nous concevons que ces rayons et ces plans soient illimités dans tous les sens, nous obtenons ainsi comme image ou projection du terrain une gerbe de

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rayons et de plans. Nous pouvons de plus en conclure que chaque ponctuelle du système plan sera projetée de S suivant un faisceau de rayons, chaque faisceau de rayons suivant un faisceau de j^lans, chaque courbe suivant une surface conique appartenant à la f^erbe , ou en d'autres termes, les images ou les projections d'une ])onctuelle. d'un faisceau de rayons ou d'une cour])e du système plan seront respectivement un faisceau de rayons, un faisceau de plans ou une surface conique de la gerbe. De même chaque segment se projettera suivant un angle ])lan, chaque angle plan suivant un dièdre, etc. Inversement, considérons la gerbe comme le système primitif et imaginons que son centre soit un point lumineux qui émette des rayons lumineux colorés dans toutes les directions ; le système plan peut alors être regardé comme une section de la gei'be. Car chaque rayon de la gerbe donnera un point du système plan, chaque plan une droite, chaque faisceau de rayons une ])onctuelle et chaque faisceau de plans un faisceau de rayons.

Knfm nous avons une seule forme fondamentale de troisième espèce^ c'est le système de V espace ou V espace indéfini à 3 dimensions avec tous les points, droites et plans qu'il contient. L'espace renferme aussi comme éléments un nombre infini de formes fondamentales de première et de deuxième espèce ; car chaque plan de cet espace est le heu ou le support d'un système plan, chaque point le centre d'une gerbe, chaque droite le lieu d'une ponctuelle et l'axe d'un faisceau de plans.

A chacune des six formes fondamentales que nous venons ainsi de définir correspond une géométrie particulière. On nous accordera aisément qu'il peut aussi bien y avoir une géométrie de la gerbe qu'une géométrie du système plan, (lar pour chafjue forme géométrique plane, nous pouvons construire une forme correspondante dans le système de la gerbe, en projetant le système plan d'un point qui lui soit extérieui-. Et les théorèmes qu'on aura pu établir pour les formes ou figures planes seront susceptibles d'une certaine manière de s'étendre à leur projection dans la gerbe. Nous aurons occasion de faire un fréquent usage de cette méthode. Il est peut-être plus difficile de concevoir qu'il puisse aussi y avoir une géométrie des formes fondamentales simples, par exemple de la ponctuelle ou des points d'une droite. Il suffira cependant pour s'en convaincre de se rappeler le théorème sur les quatre points haraioniques qu'on a fait connaître dans l'introduction. Ainsi qu'on l'a énoncé comme chose eiîéctive, étant donnés trois points sur une droite, la po-

FORMES GÉOMÉTHIOUES FONDAMENTALES. 15

sition du quatrième point liarmonique se trouve déterminée à l'avance. Nous rappelons également ce théorème que quatre rayons d'un faisceau déterminent deux couples de rayons séparés, pour montrer qu'on peut dans tous les cas parler d'une géométrie des formes fondamentales élémentaires sans avoir besoin de faire intervenir les propriétés métriques.

Les développements qui précèdent nous permettent maintenant de préciser en peu de mots l'objet principal de la géométrie de position. Elle traite des six formes géométriques fondamentales et de leurs rapports mutuels.