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on dit qu’elles forment un groupe si leurs inverses, leurs puissances et leurs produits font partie du même ensemble ; on appelle ordre du groupe le nombre des substitutions qui le composent, y compris la substitution unité ; on appelle degré le nombre des éléments qui sont soumis à ces substitutions.
Pour définir un groupe, il suffit de donner une ou plusieurs substitutions fondamentales dont les puissances positives ou négatives et les produits constitueront les substitutions du groupe; ces puissances et ces produits forment un nombre limité de substitutions distinctes, au plus égal à n! dans le cas de n éléments; on reconnaît que les substitutions sont fondamentales si chacune d'elles ne fait pas partie du groupe défini par les autres.
Je vais montrer qu'une seule substitution définit, par ses puissances, un groupe dont l’ordre, appelé aussi l’ordre de la substitution, est égal à l’exposant de la première puissance de cette substitution qui se réduise à l’unité.
Soit S une substitution, m»m le plus petit exposant tel que St —1; les substitutions
5 SE se JA Sn
forment Un £ETOUDÉ EDEN ON ADO USE rt RC Re produits de ces deux substitutions par S sont égaux à l’unité ; de plus, si p est une puissance quelconque positive ou négative, et p' un nombre positif ou nul inférieur à m tel que p = Mmq +?, on à :
DS to RS 1
Comme S?7 estune des m substitutions considérées, on voit queles inverses, les puissances et les produits des substitutions de l’ensemble font partie de cet ensemble.
Les substitutions précédentes sont enfin distinctes, car si pour p et q égaux ou inférieurs à m” et différents on avait S? = Si,
DÉS GROUPES DE SUBSTITUTIONS 5
on aurait S”7—=1, ce qui est impossible ; on conclut de là que l'ordre du groupe est bien égal à m.
Par exemple une substitution circulaire a un ordre égal à son degré.
Une substitution quelconque se ramène, comme on l’a vu, à des substitutions circulaires relatives à des cycles n'ayant aucun élément commun, et effectuées dans un ordre quelconque ; un raisonnement immédiat montre que l'ordre de la substitution est égal au plus petit commun multiple des ordres des substitutions circulaires dont elle est composée.
Il est évident d’après cela que l’ordre d’une substitution composée de cycles de «, 8, éléments, où 2+8+...<n, est
toujours inférieur à n!, età Si LHC EE 5 CAT Ie DIUSSDeLLL
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commun multiple des nombres «, 6, est au plus égal à leur produit, et est inférieur au produit 1,2,...,n et à la moitié de ce produit.
4. L'ensemble des »! substitutions que l’on peut effectuer sur n éléments forme un groupe, car les puissances et les produits de ces substitutions font partie du même ensemble ; ce groupe est appelé le groupe symétrique des n éléments, parce que ses substitutions laissent invariable toute fonction symétrique de ces éléments.
THÉORÈME. — Le groupe dérivé des n—1 transpositions (TX), (t1T3), OMC R, (ie) estidentique au groupe symétrique des n éléments 2%, %:, ...,Æn.
Car d’après l'égalité (23%) = (mire)(aite)(æi2), une transposition quelconque est dérivée des précédentes, et il en est de même de toute substitution qui se ramène, comme on l’a vu, à une suite de transpositions. Le groupe renferme donc les n! substitutions du groupe symétrique et lui est identique.
5. Le groupe le plus important après le groupe symétrique est le groupe alterné, formé par la substitution unité et les substitutions composées d’un nombre pair de transpositions ; il est ainsi appelé parce que ses substitutions laissent invariable la fonction
ep
U(x;— æ;), DE 157 EH qui a deux valeurs égales et de signes contraires lorsqu'on effectue toutes les substitutions possibles sur les éléments 21, %2,..., æn.
Pour décomposer une substitution en transpositions, il suffit de remarquer, comme on l’a vu, qu’une substitution circulaire de p éléments, telle que (21%...æ,), est le produit des p —41""transpoz sitions
(ie) GEDe) A Ti une substitution quelconque altérant m éléments, et composée de cycles, est par suite le produit de m—Âk transpositions.
Pour montrer que les substitutions composées d’un nombre pair de transpositions forment un groupe, nous nous appuierons sur le théorème suivant :
THÉORÈME. — Si une substitution S est le produit de q transpositions, et si on la multiplie par une transposition T, on forme une subshtulion ST qui renferme q +41 ou q—1l transpositions.
Soit une substitution $ portant sur m éléments et renfermant cycles ;ona g—m—k; différents cas peuvent se présenter pour la transposition T :
1° Les éléments permutés par T sont distincts des m éléments altérés par S; alors ST comprend deux éléments de plus et un cycle de plus que S, donc qg—+1 transpositions ;
2° Un des éléments de T appartient à un des cycles de S ; soit par exemple
S = (titotss)(TiT6), IDE CRE alors sit = (tit tiT ads) (Li) ; le produit ST renferme autant de cycles et un élément de plus que la substitution S, donc g<+1 transpositions ;
3° Les deux éléments de T appartiennent à deux cycles différents
de S ; soit, par exemple, dans le cas précédent, T = (x,%;) ; alors
SL (ALT TT aTS) ;
le produit renferme un cycle de moins, donc encore q+1 transpositions ;
4° Enfin, si les deux éléments de T appartiennent à un même cycle deS; par éxemple Si AT —= {7x on à
ST = (tirs )(tots) (CT) ;
GROUPE ALTERNÉ y
il ya un cycle de plus, et par suite g—1 transpositions, ce qui démontre le théorème.
Ceci nous montre que quelle quesoitlamanière de décomposer une substitution en un produit de transpositions, le nombre de ces transpositions conserve la même parité. En outre, le produit de deux substitutions d'un nombre pair de transpositions est une substitution de même nature, ce qui démontre l'existence du groupe que nous avons appelé alterné.
LU TuéoRÈmE. — L'ordre du groupe alterné est égal à —-
Partageons l'ensemble des n! substitutions en deux parties : 1° celles qui renferment un nombre pair de transpositions, y compris l’unité, et qui composent le groupe alterné ; 2° celles qui renferment un nombre impair de transpositions et ne forment pas de groupe ; si nous multiplions les premières par une transposition quelconque T, nous formons des substitutions distinctes, faisant partie du deuxième ensemble ; de même les produits des substitutions du deuxième ensemble par une transposition quelconque sont distincts et font partie du premier ; les deux ensembles contiennent
par suite le même nombre de substitutions, c'est-à-dire Rt
THÉORÈME. — Le groupe alterné contient toutes les substitutions circulaires renfermant un nombre impair d'éléments el ne contient aucune des autres. | |
En effet, une substitution circulaire de p éléments est le produit de p—1 transpositions.
COROLLAIRE. — Le groupe dérivé des n—2 substitutions circu-
laires (LiTIT3), (TiT2@), D 5% (L1T2Th)
ES MIAUEOUDEQlIEPNE DES ClÉMEN TELL UT TS dr: En effet, toute substitution circulaire de trois éléments est un produit des précédentes, d'après l’égalité DR rt nat tar rire (rir2v, (tite) Mr retire):
De plus, le produit de deux transpositions est un produit des substitutions précédentes, car
le groupe renferme ainsitous les produits d’un nombre pair de transpositions ; par suite, il est identique au groupe alterné.
On conclut de là qu’un groupe renfermant toutes les substitutions circulaires d'ordre 3 se confond avec le groupe alterné ou avec le groupe symétrique. En effet, il renferme d’abord toutes les substitutions du groupe alterné, comme on vient de le voir, par suite toutes celles qui sont composées d’un nombre pair de transpositions ; s’il en renferme une autre, composée d’un nombre impair de transpositions, il contient les produits par cette dernière des substitutions du groupe alterné, et ces produits constituent, avec celles-ci, toutes les substitutions du groupe symétrique.
On verrait de la même manière qu'un groupe contenant toutes les substitutions circulaires d'ordre 5 se confond avec le groupe alterné ou bien avec le groupe symétrique, car on a
(RTE NT ED D ET TUE par suite le groupe contient toutes les substitutions circulaires du
troisième ordre et celles du groupe alterné ; il se confond avec lui ou avec le groupe symétrique.
