DES SOUS-GROUPES. — GROUPES SIMPLES ET COMPOSÉS
6. On dit qu'un groupe G contient un autre groupe G’ s'il renferme toutes les substitutions de cet autre ; le second groupe G' est appelé sous-groupe du premier.
THÉéoRÈME. — L'ordre d’un sous-groupe d’un groupe donné est un diviseur de l’ordre de ce groupe.
Soit un groupe G et un sous-groupe G composé des substitutions
(4) SUR TRS ES te à Si », est une substitution du groupe G non contenue dans G', les substitutions
(2) DEP Me D Me DR jouissent des propriétés suivantes :
4° Elles sont distinctes l’une de l’autre, car si l’on avait par exemple S% = S32, les produits de ces substitutions par Z%:!, qui sont respectivement S, et S:, seraient égaux, ce que nous ne supposons pas;
2° Elles sont distinctes des précédentes, car si S,32 était égal à SRODIAUrHIEN 2 Sr i0,, et 2e ierait partie du, groupe G!,1Ce qui est impossible;
3° Elles font partie du groupe G.
S'il existe dans le groupe G d’autres substitutions que les précédentes, et si Z, est une telle substitution, on verra de même que
l’ensemble (3) Sadas Sade, ..,, Srt2s
jouit des mêmes propriétés ; les substitutions qu'il renferme sont distinctes l’une de l’autre, distinctes de celles de l’ensemble (1). et aussi de celles de l’ensemble (2), car sil'onavait S2 = S,3, on aurait 23 — (S'S.)% et >, ferait partie de l’ensemble (2), ce qui est impossible ; elles font enfin partie du groupe G.
En continuant de cette façon, on voit que, si l'on représente par À, la substitution unité, on peut ranger les substitutions du groupe G en un tableau de la forme
SD RENNES CH (À) S122 S22, , SD | S1Do) S220 so D où Yi —1,%,...,%, sont des substitutions convenablement
choisies de ce groupe ; il les renferme toutes et chacune une seule fois ; par suite l'ordre > du groupe G est égal a ro, ce qui démontre le théorème.
COROLLAIRE 1. — L'ordre d'un groupe est un diviseur de n!
Car un groupe quelconque est un sous-groupe du groupe symétrique, dont l’ordre est n!
COROLLAIRE II. — Les substitutions communes à deux groupes forment un troisième groupe qui est contenu comme sous-groupe dans chacun des premiers.
En effet, les inverses, les puissances et les produits des substitutions communes à deux groupes sont également communs à ces deux groupes, ce qui montre que les substitutions communes forment un groupe; c'est un sous-groupe de chacun des premiers, et son ordre est un diviseur commun aux ordres de ces groupes.
Si ces ordres sont premiers entre eux, les deux groupes ne peuvent avoir d'autre substitution commune que la substitution unité.
7. Étant donnée une substitution S et une autre T, on appelle transformée de la première par la seconde la substitution T1ST.
Si l’on désigne par substitutions semblables celles qui sont composées d’un même nombre de cycles, portantrespectivement sur un même nombre de lettres, deux substitutions transformées l’une de l’autre sont toujours semblables,
