DES SOUS-GROUPES

En effet, soit SR D dr do le

la substitution S décomposée en cycles, et

LL 3. Th... Ln ne

LiTeX,, . TL. . T,

une autre substitution par laquelle on transforme la première ; en appliquant successivement les substitutions Tt, S et T, l'élément x, est remplacé par x, et æ,; la transformée T'ST change par Suite x. en x, de même +; en x.,teic.\ on voit de cette facon que l’on obtient cette transformée en remplaçant chacune des lettres de S par celle que T lui fait correspondre, de sorte que

TRS me ne

les deux substitutions sont bien semblables.

Réciproquement, deux substitutions semblables sont transformées l’une de l’autre par une troisième substitution, celle qui remplace chaque lettre de la première par la lettre de même rang dans la seconde, en supposant que l’on ait écrit les cycles successifs de façon que ceux qui possèdent le même nombre de lettres se correspondent dans les deux substitutions.

Comme conséquence, on peut remarquer que les produits ST et TS, qui sont en général différents, sont semblables, car l’un est une transformée de l’autre d’après l'égalité

SEAT TS Le

Tnéorème. — Les transformées des substitutions d'un groupe G par une même substitution forment un groupe.

Si l’on considère en effet deux substitutions quelconques $, et $, dussroupe Geetleurs trans tortées Dar le TES MIS Ton leur produit

CRDI DEN Si ST est la transformée d’une substitution du groupe et fait partie du même ensemble que les transformées de S, et de S.

Le nouveau groupe est appelé transformé du groupe G par la

substitution T, et est indiqué par la notation T'GT.

8. On dit que deux substitutions S et T sont permutables si les produits ST et TS sont égaux ; chacune d’elles est égale à sa trans-

formée par l’autre, car de l'égalité ST=TS, ondéduit T=ST"TS ÉLINS TRIO

De la même manière on dit qu'un groupe G est permutable à une substitution T si le groupe T'GT transformé de G lui est identique, à l’ordre près des substitutions, c'est-à-dire si l’on a, quel que soit x, une égalité de la forme

IR ASRIPESR EEE les transformées des substitutions de G étant distinctes reproduisent, dans un ordre quelconque, les substitutions de ce groupe, de sorte que les ensembles (S,T) et (TS,) sont identiques à l’ordre près.

Si un groupe G est permutable à deux subslitutions T et T;, il est permutable à leur produit, car

(TES CTP ET TRS TA TS?

en désignant par $S,; la transformée de $, par T, et par S, celle de Ss par Ti.

On conclut de là que les substitutions auxquelles un groupe est permutable forment elles-mêmes un groupe.

On dit qu'un groupe G est permutable à un groupe H s'il est permutable à toute substitution de ce groupe ; on indique cette propriété par la notation

Ha CHE

Si un sous-groupe G, d’un groupe G est permutable à ce groupe,

on dit que G; est un sous-groupe distingué ou invariant de G. . Comme exemple, le groupe alterné est un sous-groupe invariant du groupe symétrique, car la transformée d'une substitution du groupe alterné par une substitution quelconque renferme un nombre pair de transpositions et appartient au groupe alterné.

Comme autre exemple, considérons le cas de n —4; le groupe symétrique contient 24 permutations et le groupe alterné 12.

Ce groupe alterné est constitué par les substitutions

Se LS — (Te) dat), S3 — (t1T3)( T4), D (xiT,)(L2T3) 1539,

Ds — (Tail), S6 = (titatr) — Sé, Sr —= (t1T3%4) — S2S5, S$ = (LT3T 4) es S253, D (TaTiT3) = S35, io == (t1T2T4) 0.

sh (L1T,T2) OS So (L1X4T3) 0e

SOUS-GROUPES INVARIANTS 15

on voit qu'il dérive des substitutions S, S; et S;, d'ordres respectifs 2, 2et 3.

Le groupe symétrique est formé des substitutions précédentes et de leurs produits par une transposition quelconque, par exemple T = (x); nous le représenterons par G et le groupe alterné par Gr.

Le groupe d'ordre 4,

Bi (Si = 1; 2; 53, 4) est un sous-groupe du groupe alterné ; il est permutable au groupe symétrique ; en effet : il l’est d’abord aux substitutions $,, S, et $, du groupe H ; ill’estaussi à S;, car

Ï Un £ un Ï

S, 19295 — 4 S5 18395 il l’est enfin à la transposition T, car ISA RE RE Das ts DS

par suite, il l’est à toute substitution dérivée de S:, S:, 5; et T.

Le groupe H est donc un sous-groupe invariant du groupe symétrique, et aussi du groupe alterné.

On verrait de la même manière que chacun des groupes d'ordre 2,

K, — (S4, 52) KR — (Si Sa); K3 — (Su Si);

est un sous-groupe invariant du groupe Il, sans l'être du groupe symétrique ni du groupe alterné.