Soient G (Si — 1, So, DDC DA

H TT (T, —= 1e TL, 50 OC me)

deux groupes permutables l’un à l’autre, c'est-à-dire tels que HG" CG; Con LCR ETS on sait ($ 6) que les substitutions communes forment un groupe

K == (U; — Le U:, DACUNET (Hs

dont l’ordre pb divise r et »’, de sorte que r = pp, » = pp; de plus, que l’on peut écrire les groupes G et H sous forme de tableaux comme il suit

qi 3 / U,>;, U 1, ... US 1 / Br Vie . , (HD DST |, US NUE = t Li:

" | TAN 7e Nr 12p U:2,, OCR: Us \ U,Z, U:>, s .…..s UF:

où », et Z, sont des substitutions convenablement choisies, et où Y, et © représentent en particulier la substitution unité. Je vais démontrer le théorème suivant :

TuéoRème. — Les substitutions U,X.Y! forment un groupe d'ordre

my! .

opp = — contenant les deux groupes G et H comme sous-groupes Q \

invariants, et le groupe K est un sous-groupe invariant à la fois de Cette Pour le démontrer (*), remarquons qu'un produit de la forme GTS Te SU SH ESS appartient à la fois aux deux groupes G et H, car la première et la seconde parenthèse représentent des substitutions faisant partie respectivement de ces deux groupes, il appartient par suite au oroupe K. Si on le représente par U,, et si l'on prend son inverse DÉS MIeS CSALES SALE Le JS is eau:

donnent, en multipliant les deux membres de la première par T,S,, et ceux de la seconde par ST;,

rs) Le — UPS TS, — LESÈTe.

En particulier, en prenant pour $, et T, des substitutions particu-

lières, telles que »,, À ou bien U,, U;, on trouve entre les substitutions Ÿ, >’ et U des relations de la forme suivante :

2 or DA ENRENE DL EMA

Cela posé, les substitutions de la forme UE}, où a, B, y prennent toutes les valeurs possibles respectivement comprises entremiuetso, 1 et p, Aeltun,cconstituentun-groupes enseñel remarquons d'abord que l'inverse d'une substitution quelconque $ est identique à la puissance de degré m—1 de cette substitution, m désignant son ordre; il suffit donc de faire voir que le produit de

(*) Comparer Nerro, Substitulionentheorie, p. 87.

SOUS-GROUPES INVARIANTS 15

deux substitutions quelconques de la forme U,XY et US», égales ou inégales, fait partie du même ensemble que les premières. Or ce produit