VU SE) = VU ELEV — (VUE V(V- IE V

Comme la première parenthèse VIU,S.V est la transformée d’une substitution S, elle appartient au groupe G, et a la forme U,'2:'; de même la seconde VX V appartient au groupe G; et a la forme U."£!'; leur produit se ramène, comme on l’a vu, à U;X,'2: où à est convenablement choisi, et fait partie du même groupe (U.X.£); si donc ce groupe ne se confondait pas avec G, ce serait un sousgroupe invariant de G admettant G; et Gi comme sous-groupes, ce qui est impossible car G et Gi sont maxima.

Ontdeédut dela que oppi— tr re; re. etpar:suite que

pe pe, pt 1.

exe ei ei

D'autre part, le groupe K dont nous venons de déterminer l’ordre est un sous-groupe invariant de G,;; je dis qu'il est maximum. S'il existait en effet un sous-groupe invariant de G, contenant K, soit H, il serait de la forme H = (U;5,), où les subtitutions ç formeraient une partie de l’ensemble des substitutions X; le théorème sur lequel nous nous sommes appuyé étant applicable aux groupes H et G, qui sont permutables l’un à l’autre puisque chacun d'eux est une partie de G, on pourrait former un groupe (U,s,}') permutable

à G et contenant Gi comme sous-groupe, ce qui est impossible

VOGT. — RÉS, ALG, 2

ne

puisque Gi est maximum ; le groupe H n'existe donc pas, et K est un sous-groupe invariant maximum de G, et aussi de Gi. De là résulte que si

LOTO El

est une suite de composition de K, les deux suites (3) CCR ARTS (4) (CHR PERMET

sont deux suites de composition du groupe G.

Le théorème énoncé se déduit de là immédiatement; il est vrai pour les suites (3) et (4), car les deux premiers facteurs de composition sont respectivement e,, e ; ei, e, et les suivants sont identiques ; il sera vrai pour les suites primitives (1) et (2) s’il l’est pour (1) et (3) d’une part, (2) et (4) de l’autre ; or ces suites ont respectivement un groupe Commun de plus que les premières à partir du groupe G, et l'on peut répéter le raisonnement de proche en proche jusqu’à ce qu'on obtienne des suites identiques ; le théorème est ainsi démontré.

41. TuÉORÈME. — Le groupe alterné de n éléments est simple pour nE> 4.

Supposons que le groupe alterné soit composé et contienne un sous-groupe invariant

HE= (SiSe. : ") , je dis que ce sous-groupe contient au moins une substitution circulaire d'ordre 3; je vais montrer, pour le faire voir, qu'on peut toujours former une telle substitution appartenant au groupe.

Si l'on en connaît une, la proposition est évidente ; sil’on connaît une substitution renfermant plus de trois éléments dans un de ses cycles, par exemple

SE TR PERS RMI É TOURS Bit hr on la transformera par la substitution È = (x;æ:x;) du groupe alterné, la transformée appartiendra au groupe H par hypothèse, et le produit ei ON LEE ER, répondra à la question; si l’on connaît une substitution renfermant au moins un cycle de trois éléments, par exemple

S = Art NaeriTE ene ou ST ITES) dure NS