GROUPES COMPOSÉS

on la transformera par X, — (max), et le produit

LS TDi TT) rentrera dans le cas précédent, de sorte que, en posant E, — (xixot:), on aura

EEE ARTE

qui sera une substitution circulaire d'ordre 3; si maintenant on connaît une substitution contenant au moins trois transpositions, telle que

S = (Tito)(Tat4)(dsT6) LE en la transformant par ©; = (xxx), on aura

DR Os = TT (darts):

ce qui rentrera dans un cas précédent ; enfin si l’on connait une substitution SE (tit>)(daTs) qui soit le produit de deux transpositions, en la transformant par à, on aura SR ps — (ALT T T2),

ce qui donnera une substitution déjà examinée.

Il y a donc toujours dans le sous-groupe invariant H au moins une substitution circulaire d'ordre trois ; si c’est par exemple

SI TiTT) on a en transformant S par 2, = (tt), Dee AE le groupe H contient par suite toutes les substitutions circulaires de la forme précédente, et d'après une propriété démontrée ($ 5) se confond avec le groupe alterné lui-même; celui-ci est donc

simple, comme nous l’avions annoncé, puisqu'il ne contient aucun sous-groupe invariant distinct de lui-même.

REMARQUE. — On voit que le raisonnement ne s'applique pas, dans le cas de n = 4, lorsque le groupe ne renferme que des substitutions de la forme (ax,)(x:æ,), Car on a utilisé un cinquième élément x; pour former la substitution X,. Il y a ici un cas d’exception, et le groupe alterné de quatre éléments est composé; nous avons vu en effet ($ 8) que ce groupe a un sous-groupe invariant

H — (A, (tits )(dats), (a1Ts)(t2Ts), (aid)(L2Ts)],

de sorte que la suite de composition du groupe alterné se compose : 1° du groupe alterné G; 2% du groupe H; 3° du groupe Ki = [l, (ximxsæ:)] ou de l’un des groupes analogues K,, K;; 4° de la substitution unité.

COROLLAIRE. — La suile de composition du groupe symétrique de n éléments, pour n>4, se compose de ce groupe, du groupe alterné, et de la substitution unité.

Nous avons vu en effet au S 8 que le groupe alterné est un sousgroupe invariant du groupe symétrique; il n’en existe pas d'autre, car un raisonnement identique au précédent montre que, pour n > 4, tout sous-groupe invariant du groupe symétrique doit renfermer toutes les substitutions circulaires d'ordre 3, et contenir par suite le groupe alterné; comme il n'existe aucun groupe d'ordre inférieur à n! et supérieur à Es le seul sous-groupe invariant du

ed

groupe symétrique est le groupe alterné lui-même; comme ce der-

nier est simple, la proposition est démontrée.

a n | Les facteurs de composition sont, dans ce cas, 2 et où

Dans le cas de n — 4, lasuite de composition du groupe symétrique est formée : 1° du groupe symétrique G; 2% du groupe alterné G'; 3° du groupe H d'ordre 4 ; 4° de l'un des groupes K;, K:, K; d'ordre 2; 5° de la substitution unité.

Les facteurs de composition sont 2, 3, 2 et 2 ; le groupe H est de plus un sous-groupe invariant du groupe symétrique.