DES FONCTIONS RATIONNELLES DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES

42. Soit o(ai, &,, ...,x,) une fonction entière des n variables indépendantes 1, æ, ...,*,; effectuons sur ces variables toutes les substitutions possibles ; si les valeurs que prend la fonction sont algébriquement identiques à la première, on dit qu'elle est une fonction symétrique des n variables. On sait que toute fonction symétrique entière peut se mettre d'une seule manière sous la forme d’une fonction entière des fonctions symétriques simples :

fi DT. Es = 2TT;, er - le —= L1L2.. Un.

Il arrive le plus souvent que les valeurs algébriques prises par la fonction donnée ne sont pas toutes identiques ; soient

CHUTÉ MSNM ST D, NE œ,

les fonctions distinctes obtenues, e, représentant la fonction donnée ; il existe au moins une substitution conservant à v, sa valeur, c’est la substitution unité; dans tous les cas, les substitutions la laissant invariable forment un groupe, car en effectuant successivement un nombre quelconque de ces substitutions, la fonction conservera la même valeur, par conséquent le produit d’un nombre quelconque de substitutions de l’ensemble fait partie de cet ensemble; le groupe dontnous venons de démontrer l'existence s'appelle le groupe de la PINOT (ea, Du)

Parexemple, pour n—%4, lafonction o, = xx:<+asx prend, pour toutes les substitutions, les trois valeurs ©, %: = tits + dite,

03 = Lit, +23; © reste invariable pour les substitutions du groupe d'ordre 8 :

ÉpESNUE (æit), (xt), (tit2)(t3T4), (ait3)(T2T4), (iT,)(t:%3),

(mitatims), (MiTiToT3)].

13. Réciproquement, on peut former, d'une infinité de manières, une fonction entière qui reste invariable pour les substitutions d’un groupe donné, et change de valeur pour toute autre substitution.

Pour le montrer, nous allons d'abord former une fonction entière des n variables prenant n! valeurs distinctes pour les n! substitutions ; la somme

VU = Wii + Ula + + Un,

OÙ WU, WU, ..., Un SOnt des constantes arbitraires distinctes, répond

à la question. Si l'on effectue en effet deux substitutions quelconques différentes :

Ti To .. L L T . L Us ( x } T — ( 1 To à } \Ta, Tag . ee La, Th, Th, See L, dont nous représentons les inverses par g— re ( Ti 2 10 de Th } TU ( Li 2 nie LA } Le, Tes .. Ton Te, Te, te Te,

les valeurs que prend la somme , :

Ÿs = (Wide, + Ua, + + Una), Vr = (Ut, + Us, + + UnTo,)s peuvent s’écrire, en les ordonnant par rapport à 2, 2,...,æ,: Vs = (ati + Uada + HU En), Vr = (ui + Ua Te + Us, En); elles ne peuvent être identiques algébriquement que si l’on a à la fois

Us, === Ug,s Us, ere) Us, )

ce qui est impossible, puisque les constantes w sont distinctes et que les indices %,,...,a, ne sont pas tous identiques aux indices correspondants Bi, B, ..., 8. ds et Ÿ. sont donc distinctes.

Nous appellerons la fonction précédente 4, la fonction de Galois relative aux n variables . æ,, x, ..., æ,.