FONCTIONS RATIONNELLES DE PLUSIEURS VARIABLES

Si maintenant on considère un groupe CET 14; Sa, …., S)

et les valeurs 4, de, ..., 4, de la fonction de Galois lorsqu'on effectue les > substitutions du groupe, le produit

Q(u, di, ..., n) = (u— Vu — 1)... .(u —,) satisfait, quel que soit u-<0, à la condition d’avoir pour groupe le groupe donné G. En effet, si l’on effectue une substitution S, du groupe, et si l’on pose

MS — D DS — Se ….) DD 5h

les substitutions S,, Se, .…, S sont distinctes puisque S;, S,.., S, le sont, appartiennent au groupe G et par suite sont identiques, à Notre Dre RSS. 2 10 les TOrCtIOnS 10 7 0 Se changent, par la substitution $,, en ,,4., ...,4,, qui sont identiques, à l’ordre près, aux premières valeurs ; par suite la fonction + ne change pas. |

D’autre part, si l’on effectue une substitution T n’appartenant pas au groupe et si l'on pose

ST—=S,, ST — 5, Re ST =S$,,

aucune des substitutions $,,S,, ..., S. ne fait partie du groupe G ; le produit » se transforme en un nouveau produit

Pr = (u— ju — 4)... (u — 4), qui est différent du premier ; en effet, si les produits + et or décomposés en facteurs linéaires par rapport aux variables x étaient égaux, chaque facteur de l’un serait égal, à une constante multiplicative près, à un certain facteur de l’autre, et l’on aurait par exemple

mais alors onen déduirait, puisque la constante uw a été supposée AU RE Et LU, ce qui est impossible ,.la:proposition

se trouve ainsi démontrée (*).

(*) Le raisonnement ne s'applique plus lorsque #— 0, à moins de supposer que les coefficients %i1, w:, ..., Un de la fonction de Galois satisfont à d’autres conditions qu'à celle d'être inégaux. Considérons par exemple, dans le cas de n = 4, la fonction de Galois di = tmi+it2— x; — ix,, et le groupe H du 8 8; le produit o = bb (Dit iDe ai) Dai Dis) (Pa HD dite) (Lis — da — ii)

Nous verrons plus loin quelles relations existent entre les fonctions, dont nous venons de démontrer l'existence, restant invariables pour les substitutions d’un groupe donné, et pour celles-là seulement ; nous dirons que ces fonctions appartiennent au groupe.

14. Soit wifi, ds, ..., *,) une fonction entière non symétrique appartenant à un groupe G, d'ordre 7,

Gi (Si — 1, Sa, D Sr)

Dos «-., ® toutes les autres valeurs que prend +,, obtenues en lui appliquant par exemple les substitutions X:,,..., ZX, non contenues dans le groupe précédent.

Considérons les substitutions de l’ensemble

S129, S22, mn daté, S, 2 :

elles transforment toutes +, en %, et ce sont les seules, car si T est une substitution opérant cette transformation, le produit TE;

ne change pas +, et est égal à l’une des substitutions $S;, de sorte

que T = 5,2. On voit de même que les substitutions

changent +, en », et sont les seules, et ainsi de suite. Le tableau suivant, où X, représente la substitution unité,

Si, SaZ1 DONC SA S,5,. SR Pr SX.

SP SE, A Ho

renferme toutes les substitutions possibles, puisque la fonction prend, pour une substitution quelconque, l’une des o valeurs dont elle est susceptible, et que l’on a formé toutes celles qui lui font acquérir ces p valeurs; elles sont toutes distinctes, car celles d’une

est bien invariable par les substitutions de H; si on lui applique la substitution circulaire T = (xi%2%3:%,), on obtient la valeur or = Wadi (Ta ils — Didi) (Da Hilo — Qi — TDi — Le —il 3) Li + iLy—L3— ia), qui est identique à la première, car

Min Yi ei Mai; la fonction ® appartient donc à un groupe plus général que le groupe H.

La règle donnée par différents auteurs, par M. Serret et M. Jordan par exemple, n'est pas énoncée d'une manière assez précise.