FONCTIONS RATIONNELLES DE PLUSIEURS VARIABLES

même ligne le sont déjà, et si l’on avait d'autre part S,5z = Sr 2 pour £4-Zk, onen déduirait ZX; = S5"$S,%;; Xx transformerait °, en ©; et non en ©; contrairement à l'hypothèse.

Par suite le tableau renferme une seule fois chacune des n ! substitutions, et l’on à 72 =n!. On peut remarquer qu'il est ana-

logue au tableau (4) du $ 6, et l’on peut énoncer le théorème suivan :

THÉORÈME. — Si une fonclion appartient à un groupe d'ordre v, elle a ge = — valeurs, et il existe r substitutions qui la trans-

Fa forment dans chacune de ces o valeurs.

REMARQUE. — La fonction +, appartient au groupe G, d'ordre r; chacune des autres valeurs, par exemple +;,, est une fonction qui prend o valeurs comme +,, et précisément ce sont e, D; en effet, une substitution quelconque S peut s’écrire Dre >»; change +, en », et S’ change +, en une des p valeurs précédentes.

3 Pas...)

°, à alors un groupe G; d'ordre » puisque c'est une fonction ayant o valeurs, etque n!—=7rp; je dis que ce groupe est le transformé de G: par »;, c’est-à-dire que

CPE PE

en effet, considérons une substitution quelconque X,'S,Xx du groupe transformé de G, et appliquons-la à la fonction v,; Et la remplace par +, que conserve S,, et 2, transforme co, en v,; toutes les substitutions de ce groupe transformé laissent donc %; invariable, et font partie du groupe G; de cette fonction; comme leur nombre # est égal à l'ordre de ce dernier groupe, G4 est identique au groupe transformé lui-même, d'où ce résultat :

CoRoOLLAIRE. — Les po valeurs d’une fonction ont chacune un groupe

r.10s | J d'ordre r — — les groupes correspondant à deux d'entre elles

sont transformés l’un de l’autre par la substitution qui remplace ces valeurs l’une par l’autre.

45. TuéorÈmE. — l'oute fonction symétrique entière des valeurs distinctes que prend une fonction entière de plusieurs variables pour toutes les substitutions est une fonction symétrique entière de ces variables.

Soient vw, ®, ...,® les valeurs distinctes que prend une fonction entière », et Fo, w,, ... , »,) unefonction symétrique entière de ces p valeurs; c’est une fonction entière des variables restant invariable pour toute substitution. En effet, une substitution quelconque S a pour résultat de conserver à chaque fonction sa valeur ou de la remplacer par une des autres ; les nouvelles valeurs +1, &, ...,e qu’elles prennent sont toutes distinctes, car si l’on avait o@, — o4, en effectuant la même substitution St sur les deux membres, les résultats +, et ©, devraient être égaux, ce qui est impossible; par conséquent les fonctions © se reproduisent après la substitution S, dans un ordre quelconque, et la fonction symétrique entière Foi, 2, ...,w,) conserve la même valeur ; c’est donc une fonction symétrique des variables x.

COROLLAIRE. — Les bp valeurs que prend une fonction entière de plusieurs variables pour toutes les substitutions sont racines d’une équation algébrique entière dont les coefficients sont des polynomes entiers par rapport aux fonctions symétriques simples de ces variables.

En effet, les coefficients de l'équation

oz) = (2— m)(3 — 92)...(2 — 9) = 2 + Ait + HA = 0

ayant pour racines les op valeurs 45 &23-..) ©, SOnt des fonctions symétriques entières de ces p valeurs et par suite s'expriment par des polynomes entiers par rapport aux fonctions symétriques simples fi, fo, .…, fx des n variables x; on peut ajouter que le premier coeflicient de l'équation est égal à l'unité.

Comme exemple de ce qui précède, considérons, dans le cas de n = 4, la fonction ej = 2% +x:x,; elle admet le groupe d’ordre 8 GA ain) rer) Cri) (TS) Tir) ET) Mi TA Er

(tit3Tt4), (TiTToTs)] et a par suite trois valeurs ; les deux autres sont Pa — Lis + Las,

déduite de la première par ZX: = (xx), et appartenant au groupe REG NAT nr UT Er ere TRS

(ait,)(trs), (aititsts), (ditutste)|, et

D — Lily + Los,

FONCTIONS RATIONNELLES DE PLUSIEURS VARIABLES Dhs

déduite de +, par ZX; — (xx,), et appartenant au groupe CD C2 NP TT rer) Titi tete (Tite rate) fra (tr rer) Tite TES )|.

On peut remarquer que les trois groupes ont en commun le sousgroupe H =, (an)(a), (aim)(airs), (air: )(tems)]; mais c’est un fait exceptionnel sur lequel nous reviendrons.

Les trois fonctions w1, ®, #, ont pour fonctions symétriques simples les valeurs suivantes, où l’on pose

FREE Ta TEE TT Tibet Di + Do + © = EMT, = fi, Pia + 93 + Dos = Dai irr = (E)(EriT;t) — Avitatat, = fifs — As, 210203 — Zrixix} + Litatat EX? = [3 — Afofs, + fifs, de sorte qu’elles sont racines de l'équation du troisième degré

D — fe + (ff — Aie —(fà— Afofi + fifs) = 0.

On peut remarquer que le discriminant de cette équation est

(pa — Da) (pa — ps) (pa — 93) = (ai — 2) (re — 23)?

(da — D) te — 24) as — 22) (xs — 24) et qu'il est identique au discriminant de l'équation du quatrième degré qui aurait pour racines 1,2, æ: et æ;(*).

46. Nous nous sommes occupés jusqu'ici des fonctions entières de plusieurs variables ; nous pouvons rattacher à ce qui précède l'étude des fonctions rationnelles.

DL de cn La) VMS TA) du quotient de deux fonctions entières des variables 21, 2, ..…., æ, ; on peut la remplacer par une autre dont le dénominateur soit une fonction symétrique entière de ces variables. Il suffit de considérer les valeurs algébriques distinctes que prend le dénominateur pour toutes les substitutions ; si d4, d, ..., 4, sont ces valeurs, leur pro-

Soit une fonction rationnelle mise sous la forme

(*) Cette remarque a été généralisée par Kronecxer et M. Nerro. Comparer Nerro, Substitutionentheorie, p. 56.

duit est une fonction symétrique entière, et l’on peut remplacer la fraction par

dont le dénominateur est symétrique et dont le numérateur est une fonction entière des variables ; si elle est elle-même symétrique, on dit que la fraction donnée est une fonction symétrique rationnelle, et on peut la mettre sous la forme du quotient de deux polynomes entiers par rapport aux fonctions symétriques simples ; si au contraire elle à o valeurs et appartient à un groupe G, on dit qu'il en est de même de la fraction donnée; les o valeurs de la fraction sont racines d'une équation algébrique à coeflicients entiers par rapport aux fonctions symétriques simples, le premier n'étant plus égal à l'unité ; plus généralement, tout ce que nous avons dit des fonctions

entières s'applique aux fonctions rationnelles.