CAISSES

n | ae. ” etrayant p—— valeurs, »,0,,...,,, déduites de la première ji

par les substitutions XX, — 1, X:,..., =; ces valeurs sont racines d'une équation algébrique de degré » :

B(z) = (2— m3 — 92)...(5 —0,) — 0, dont les coefficients sont des fonctions symétriques des variables. Soit maintenant 4, une autre fonction restant invariable pour toutes les substitutions de G; ; elle a un groupe identique à G, ou le contenant comme sous-groupe ; supposons, pour nous placer

dans le cas le plus général, que % appartienne à un groupe H, d'or-

dre »'—kr, de sorte que pour toutes les substitutions, 4,

n | o) prénnenpe— FT S.. VAlEURS AU RU Reprenons le tableau des n! substitutions dont nous avons parlé

au $ 14

SOS RNA op tel que celles de la #* ligne changent +, en w;, et appliquons-les à Ÿ, ; comme toutes les substitutions d’une même ligne produisent sur 4, le même effet, et qu’à chacune des pb’ valeurs de cette fonction doivent correspondre kr substitutions, il est nécessaire que le tableau précédent se décompose en ?” ensembles de klignes chacun, trans-

formant respectivement d1 en 4, ds, ..., 4. Nous désignerons cependant par 4, M, …, 4, les valeurs que prend 4 lorsqu'on lui applique les substitutions 2,, X,, ..., Z,, ces valeurs n'étant pas

toutes distinctes mais égales Æ à k.

On peut ajouter que si les # premières lignes du tableau par exemple ne changent pas 4, et constituent le groupe H,, les autres ensembles de k lignes relatifs aux valeurs distinctes de % s’'obtiendront en multipliant les substitutions de H;, par des substitutions T:, T,, ..., Tr, convenablement choisies.

Cela posé, soit Fifo;, 4;) une fonction rationnelle de #; et d;, et considérons une fonction symétrique des valeurs F,, F:, ...,F, ; c'est une fonction symétrique des variables +, car siune substitution S change »; en ©;, elle change également 4; en Ÿ;, elle conserve donc à chaque fonction F sa valeur ou la transforme dans une des autres; d’après un raisonnement déjà fait au $ 15, les valeurs des fonctions Fi, F, ..., F, se changent après une substilution quelconque en d’autres identiques aux premières, à l’ordre près, et toute fonction symétrique de ces valeurs est une fonction symétrique des variables.

Considérons alors la somme

d’après ce qui précède, c’est une fonction symétrique des variables x, et elle se met sous forme d'un polynome entier en z de degré p—1 dont les coefficients sont des fonctions symétriques rationnelles des variables, W(z) = Az + A+... HA ; d'autre part, d’après la formule de Lagrange, ce polynome en z prend la valeur td; lorsqu'on remplace la variable par v;; on a donc pour toute valeur de l'indice 2, DU (oi) — Ab DCR Asp ne A9:

Nous avons ainsi démontré non seulement que d, s'exprime au moyen de +», soùus la forme d’un polynome entier de degré p—1 à coefticients symétriques, mais encore qu'une valeur quelconque de 4, s'exprime au moyen de la valeur correspondante de +, par le même polynome.

Si nous supposons en particulier que les groupes de », et 4, sont identiques, le raisonnement s'applique à chacune de ces fonctions, ce qui permet d'exprimer chacune d'elles en fonction entière de l’autre ; on énonce ordinairement ce résultat en disant que deux fonctions de même groupe s'expriment rationnellement l’une par l’autre.

Réciproquement, s2 deux fonctions rationnelles s'expriment rationnellement l’une par l’autre, avec des coefficients symétriques, elles appartiennent au même groupe, car chacune reste invariable pour les substitutions qui constituent le groupe de l’autre.

Les fonctions entières ou rationnelles de plusieurs variables se distinguent ainsi en genres, celles d’un même genre étant exprimables rationnellement au moyen de l’une quelconque d’entre elles ; c'est Kronecker qui a montré l’importance de cette notion de genre (Gattung) dans l'étude des fonctions algébriques ; il a appelé genres conjugués ceux auxquels appartiennent les différentes valeurs que prend une fonction rationnelle pour toutes les substitutions (*).

18. Comme application, considérons une fonction +, ayant deux valeurs, v, et v,, pour toutes les substitutions ; chacune d'elles a un

groupe d'ordre --n!; en désignant ces deux groupes respective-

(*) Kroxecxer, Monutsberichte der Berliner Akademie, 1879, p. 212.

ment par G,; et G, je vais démontrer qu'ils sont identiques au groupe alterné.

En effet, soit S une substitution du groupe G, de »,, laissant cette fonction invariable; elle ne peut changer la valeur de e;, car sinon elle remplacerait +, par v, et son inverse S-! remplacerait ©, par e, ce qui est impossible puisque St! appartient comme S au groupe G, ; par conséquent toute substitution de G; fait partie de G, et ces deux groupes, qui ont le même ordre, sont identiques.

Le groupe (G, commun à », et v, est permutable au groupe symétrique ; en effet, 1l l’est d’abord évidemment à toute substitution S de G,; si maintenant X est une autre substitution n’appartenant pas à ce groupe, et remplaçant par suite vw, par e, et ©, par o,, la transformée 27155 de $ par Z ne change ni », ni % et fait partie du groupe G,; ce dernier est dès lors un sous-groupe invariant du groupe symétrique et, d’après le raisonnement du $ 11, c'est le groupe alterné.

La fonction

ÿ = VA = Ur —x,) ss} 10) LL 0 PRET

prend pour toutes les substitutions deux valeurs égales et de signes contraires, on dit qu'elle est alternée, et elle appartient au groupe précédent; elle est racine de l'équation 4? — A, où A est le dis- .criminant ; toute autre fonction à deux valeurs est alors de la forme AHBVA, où A et B sont symétriques.

On peut démontrer ce qui précède d'une autre manière : si et +, sont les deux valeurs de la fonction, v;+e, est symétrique et —+v, conserve sa valeur ou change de signe, car une substitution quelconque laisse +, et c invariables ou les remplace l’une par l'autre; ce dernier cas se présente au moins pour une transposition (x,x;), par suite o—+, s’annule pour zx, = % et est divisible par x, —x,; en effectuant ensuite toutes les substitutions possibles, on voit que #, —+, est divisible par toutes les différences x—x;, par conséquent par VA.

. O1 Pia Pa . , Ê £ Le quotient TE est une fonction symétrique, par conséquent

o, et sont de la forme A+B/A et A—B/A, où À et B sont symétriques ; on conclut de là qu’elles appartiennent au même groupe que YA, c'est-à-dire au groupe alterné.

49.Comme conséquence du théorème fondamental que nous venons de démontrer au $ 17, nous pouvons énoncer les corollaires suivant{s :

COROLLAIRE [.— L'tant données plusieurs fonctions entières ou rationnelles de plusieurs variables, on peut les exprimer au moyen d’une seule fonction nouvelle sous forme de polynomes entiers à coefficients symétriques.

Soient ©1, Vi, y1, ... plusieurs fonctions rationnelles, et

y = UD + UÙs E Wyi +

une fonction linéaire et homogène des précédentes, avec des coefficients constants arbitraires ; nous supposons ces coefficients assujettis à la condition suivante, que l’on peut réaliser d’une infinité de manières : si l’on prend les valeurs &,, &, ... ne d, ... desfonctions données, une identité de la forme

Un DYr + ee = Une DU + ce

nest possible que si hk—h, k — , 51 cela a lieu, w, reste invariable par les substitutions communes

aux groupes de 1, 1, ... et change pour toute autre substitution ; elle appartient à un groupe contenu dans les précédents, par suite les fonctions 1, 44, ... s'expriment en fonction entière de w, avec

des coefficients symétriques.

On peut ajouter que les autres valeurs w, 03, ...,4,, ... s’expriment de la même manière au moyen des autres valeurs de la fonction «1.

20. Un cas particulier est celui où les groupes des fonctions données n'ont aucune substitution commune ; le groupe de w, se réduit à l’unité, et w, change pour toute substitution.

Or la fonction de Galois déjà considérée au $ 13,

WU = UT + Ue + °° + Url, remplit la condition d’avoir n! valeurs, et son groupe, qui se réduit à l'unité, est contenu dans tout autre groupe, d'où ce résultat :

COROLLAIRE I. — Une fonction rationnelle quelconque de plusieurs variables s'exprime d'une manière entière au moyen d'une fonction

VOGT. — RÉS. ALG, #

particulière ayjant n ! valeurs, en particulier au moyen de la fonction de Galois.

CoRoOLLAIRE II. — Les n ! valeurs de la fonction de Galois sont des fonctions entières de l’une quelconque d’entre elles, puisqu'elles appartiennent au même groupe ; on peut encore dire que les genres conjugués fournis par les valeurs de la fonction de Galois sont confondus.

CoRoLLAIRE IV. — Les variables elles-mêmes, 1, x, ..., 2%», S’'expriment d’une manière entière au moyen de la fonction de Galois.

Le groupe auquel appartient %, par exemple est formé des (n—1)! substitutions renfermant les n—1 autres variables ; la fonction a ainsi n valeurs qui sont les variables elles-mêmes Lis Los +. En, Cet Chacune d'elles s'exprime d'une manière entièreau moyen de la fonction de Galois (*).

Le procédé indiqué par Galois pour exprimer les variables en fonction rationnelle d’une seule fonction est plus simple que le calcul fondé sur la formule de Lagrange ; ce dernier, que nous avons indiqué plus haut, a l'avantage cependant de donner une fonction entière et non rationnelle. Le calcul de Galois consiste, étant donnée une des variables, par exemple x,, à prendre la fonction

= Udi + Uo + + Unln etles (n—1)! valeurs 4, d, ..., W, 1,1 qu'elle prend pour les substitutions laissant x, fixe et changeant les autres éléments ; l’équation Pis) = ( — hf —h)... (2 — Van!) = 0 qui les admet pour racines a ses coeflicients fonctions symétriques de %,%3, ...,æ,. On peut les exprimer en fonction entière de x; et des fonctions symétriques. fi, f2, ...,f, des n variables, car si l’on pose f(x) = (@—2)(x — 22).. (x — 2), ce sont des fonctions entières des coefficients de l'équation