RENAN

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(*) On trouve dans Senrer, Algèbre supérieure, t. I, p. 442, la démonstration qu'a donnée Gazois de cette proposition, dans le t. XI du Journal de Mathématiques.

RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS RATIONNELLES sa)

Soit donc (z,x4,) — 0 l'équation qui a pour racinesles valeurs Y, considérées; on a identiquement ®(4;, æ;) — 0, de sorte que l'équation (4,, x) = 0 ala racine x —=x,; je dis qu’elle n’est satisfaite par aucune autre des variables 2, æ3:,...,æ,. Supposons en effet que l’on ait par exemple ®,(4,, æ) — 0; l'équation P,(3, &) — 0 aurait pour racine 4, ; or le premier membre de cette dernière équation se déduit de (x, x,) en effectuant la transposion T— (x), ets’annule pour les valeurs 4, L,,... obtenues en opérant cette transposition sur %,, 4.,,...; on sait que les nouvelles valeurs ainsi formées sont toutes distinctes des premières, par conséquent on ne peut avoir (y, 2) — 0.

On conclut delà que les équations (4, æ) = 0 et f(x) = 0 ont une seule racine commune x,; on l’obtiendra en cherchant le plus grand commun diviseur des premiers membres et continuant l'opération jusqu’à ce qu'on obtienne un reste du premier degré ; en l’annulant, on a la valeur de x, exprimée rationnellement au moyen de 4, et de fi, fa, ..., f,; on peut remplacer naturellement Y, par une quelconque des (n—1)! valeurs considérées.

Comme exemple, considérons trois variables, et la fonction de Galois

= di + 0% + w°ds, où w est une racine cubique imaginaire de l'unité; pour exprimer æ: nous prenons les deux valeurs 4, et d = xi+ur; + ur; elles sont racines de l'équation Pils, a) = 22 — (304 — fi)z + f? —3ja = 0.

Le premier membre renferme x, au premier degré; par suile il représente, lorsqu'on remplace z par 4 ou 4, le plus grand commun diviseur de f(x,) etde Pi(M, x) ou Pi(M:, x), et l’on a immédiatement, en résolvant par rapport à x,

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