SU E
De même, en posant 3 = 23 + uw + mm, M = Li HOT + xs, on à
Ti
TR RC EE om EN 307 1 . 300 em m0 Ur re op
— sw, éd 3w4,
Un autre procédé de calcul indiqué par Kronecker à propos du problème général de l'élimination est le suivant (*) :
Soit V1 la fonction de Galois déjà considérée, du, d,..., 4,1 ses n ! valeurs pour toutes les substitutions; formons l'équation qui les admet pour racines :
F{s, Us Ua Aa lo lose) le VIEN) EN EU
Le premier membre est un polynome de degré n! en z, dont les coeflicients sont des fonctions entières des paramètres w1, U>,..., Un, et des fonctions symétriques simples 4, f2,.. , f\,; Si l’on y rem-
place zx par D Ulis + Ua + 2 + Un,
il s’annule identiquement lorsqu'on le considère non seulement comme fonction de x,, 4:,..., 2», mais encore comme fonction des paramètres laissés indéterminés wi, W,..., Un, et sa dérivée par rapport à l’un d'eux est identiquement nulle. En prenant par exemple la dérivée par rapport à w,, on a une équation,
A TONER O Re
Ty PTE ya 10; qui se transforme en identité lorsqu'on remplace z par ‘1, et elle fournit précisément la valeur de x, en fonction de di.
21. Nous avons exprimé dans ce qui précède une fonction rationnelle des variables, appartenant à un certain groupe, au moyen d'une autre fonction appartenant au même groupe ou à un autre contenu dans le premier ; nous allons résoudre la question inverse.
THÉORÈME. — Si une fonclion appartient à un groupe G d'ordre r contenu dans un groupe G' d'ordre 7 = mr, elle prend pour toutes les substitutions de G m valeurs qui sont racines d’une équation d'ordre m; les coefficients de cette équation sont des fonctions entières à coefficients symétriques d'une fonction arbitrairement choisie appartenant à G'.
Soit +, une fonction appartenant au groupe
Cr date So, pie
+ Comparer BoreL et Dracu, Introduction à la théorie des Nombres et à l'Algébre supérieure, pages 205 et 241.
RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS RATIONNELLES ai
si on lui applique toutes les substitutions de G’, et si elle prend des
valeurs distinctes 1, o:, ..…., 9e par les substitutions Y—1;, 2, …, Z,, on voit, comme au S$ 14, que les substitutions du otre RS PNR PU TE MENT p | S12; Sad, , Sr2
(T) | Si MO Mode
sont distinctes et constituent le groupe G, de sorte que p = m; celles de la ligne de rang # changent +, en +,, et ce sont les seules du groupe G' jouissant de cette propriété. Une substitution quelconque de ce tableau change v;, 0, …, ©, en d’autres valeurs identiques aux premières, à l’ordre près, de sorte que les fonctions symétriques de ces m valeurs restent invariables par les substitutions de G’; on pourra les exprimer, comme on l’a vu, sous forme entière au moyen d'une fonction Ÿ, arbitrairement choisie et appartenant au groupe (7, les coefficients étant des fonctions symétriques des variables.
On peut ajouter que les groupes G, %'G2,...,2,'GZ, contenus dans le groupe G' sont ceux auxquels appartiennent respectivement lSVAIÉTTEN Er 22.720.
Les théorèmes du oitrS précédent ne sont que des cas particuliers de celui que nous venons de démontrer, et s’en déduisent en supposant que G’ soit le groupe symétrique.
Pour donner un exemple, nous avons vu au $ 12 que la fonction
Di = Via + ads, admet le groupe d'ordre 8 désigné par G ; la fonction 1 = Li Fe — L3 — À, admet le groupe d'ordre 4 NI, (um), (am), (ar)(ars)] contenu dans le précédent ; c'est une fonction à six valeurs, qui prend, pour les substitutions de G;, les deux valeurs y, et yi = — y1, dont les fonctions symétriques simples sont y;+yi —0 et a = — [ei + 22 — 23 — 2 = Afs — fi — Lo, ;
ces fonctions symétriques sont exprimées au moyen de v,, de sorte
que les deux valeurs 1, y, sont racines de l’équation ner pete elles ont du reste le même groupe g1.
Comme autre exemple, les trois groupes G;, G, G; des trois fonc-
tions e,, & et », du $ 15 ont en commun le groupe
H = [LL (aim)(asr,), (aits)(des), (mire (at) auquel appartient la fonction à six valeurs
O4 = Lg + Lady — Lidl — Lol — Di — 9
les cinq autres étant
Dee PQ EP NS TE PT CESR
Pour les substitutions du groupe Gi, w, a les deux valeurs «, et w, dont les fonctions symétriques, exprimées au moyen de e:;, sont
de sorte que w, et w, sont les racines de l'équation
7 — (30, — fajw + (307 — Doifo + f1fs — Àfs) = 0; on trouverait des équations analogues en partant de G et G3.
On remarque que les six valeurs de w appartiennent au même groupe H; elles s'expriment par suite rationnellement l’une par l’autre; on aura par exemple la relation qui existe entre w, et w, en éliminant , entre les équations (1) et l'équation déjà formée au $ 45,
gi fat + (fifa — Afijes (F3 —4ffs + ff) = 0, et écrivant que les deux équations ont en vw, une racine commune ; on à ainsi 30 Au tb Gwi + 2A
À = 3/ff3 —192f, — f 3, B = 72faf;, — 27f5f, — 27f3 — 2f3 + Ifififs.
22. Dans les deux exemples précédents, les deux valeurs de 7;
pour le groupe G, ont même groupe, et il en est de même des valeurs de w,; nous allons déterminer les conditions dans les-
quelles un tel fait peut se produire, et démontrer le théorème suivani :
THÉORÈME. — Pour qu’une fonction vw, appartenant à un groupe G d'ordre r prenne pour les substitutions d’un groupe G' d'ordre mr contenant G m valeurs appartenant au même groupe, dl faut et il suffit que G soit un sous-groupe invariant de Gr.
En effet, en nous reportant au tableau (T) du $ précédent, les valeurs vw, #,..., w, Ont pour groupes G, 21G2,..., 2,1G2, ;- SI ces groupes sont identiques, G est permutable à toute substitution de G’, et est un sous-groupe invariant de G', et, réciproquement, s'il en est ainsi, les groupes des m valeurs de © sont identiques.
Les sous-groupes K et H de G; remplissaient les conditions précédentes dans les exemples choisis.
Si l'on considère en particulier le cas où G’ est le groupe symétrique, on a, en se reportant aux résultats du $ 11, le théorème suivant :
THÉORÈME. — Les valeurs distinctes que prend une fonction rationnelle de n variables pour toutes les substiltutions ne peuvent appartenir au même groupe ou s'exprimer ralionnellement au moyen de l'une quelconque d’entre elles que dans les deux cas suivants :
La fonction a deux valeurs appartenant au groupe alterné ;
La fonction a n! valeurs appartenant au groupe réduit à la subslitution unité.
Une seule exception a lieu dans le cas de n — 4 pour les fonctions à six valeurs, telles que w,, appartenant au groupe H.
COROLLAIRE. — Si une fonction rationnelle de n variables a un
nombre o de valeurs 2 et nl, les groupes auxquels appar-
tiennent ces o valeurs n’ont en commun que la substitution unité, sauf
case n° —4().
En effet, si les groupes 2, 1G23, >, 1G2, Ni UGS, avaient des substitutions communes constituant un groupe H autre que l'unité, ce groupe serait permutable à toute substitution et serait un sous-groupe invariant du groupe symétrique, ce qui est
(*) Kronecker, Monatsberichle der Berliner Akademie, 1879, p. 208.
impossible, sauf pour n — 4. Nous avons vu dans ce cas que les groupes Gi, G, G ont en commun le groupe H d'ordre 4.
23. THÉORÈME. — Si une fonction appartenant à un groupe G = [Si, Sr, .…, S,] est telle que les m valéurs qu’elle prend pour les substitutions d’un groupe G' contenant G sont racines d’une équation binome de degré m, le groupe G est un sous-groupe invariant de G', et il existe une substitution È d'ordre m telle que les substitutions de G' soient toutes de la forme
Da (a = LD PEN OS RO MORE
En effet, si +, est une fonction appartenant au groupe G telle que les m valeurs v:,%2, ...,®, qu'elle prend pour G soient racines de l'équation |
ge Pb, Pa La) 0, où Ÿ, est une fonction du groupe G', ces m valeurs sont de la forme s: w®T19,, Où w est une racine primitive de w?— 1 — 0. Par suite elles ne diffèrent de l’une d'elles que par un facteur constant, et ont même groupe G; ce groupe est par conséquent un sous-groupe invariant de (.
De plus si Ë est la substitution qui change +, en ww,, les puis- SanCes DL. Dre NChanpent ©; TeSpDéCHyVeMentREnSCUs cune des m valeurs 6,, we, w°o,,..., w”7e,, et les mr substitutions de G’ sont alors de la forme S,Ëf, ainsi que cela résulte du tableau Houus 1
Réciproquement, en supposant m premier absolu, si un groupe G
À 2 213 Ho, wo
d'ordre r est sous-groupe invariant d'un groupe G' d'ordre mr, il existe des fonctions appartenant au groupe G dont les m valeurs pour les substitutions de G' sont racines d’une équation binome de degré m.
Soit y, une fonction quelconque du groupe G ; par suite de l'hypothèse et de ce que l’on a vu au $S précédent, ses m valeurs pour les substitutions de G appartiennent au même groupe, de sorte que si une substitution ? de G’ change la valeur de y,, elle changera en même temps la valeur des m—1 autres fonctions; jappelle y; la fonction dans laquelle È transforme y,, y: celle dans laquelle È transforme y:, et ainsi de suite jusqu'à une certaine valeur y, que © transforme en 71.
