FONCTIONS RACINES D'ÉQUATIONS BINOMES
Je disque = m; supposons en effet qu’il lui soit inférieur, et soit © une substitution de G’ qui change y, en une fonction Y141 non encore obtenue; la substitution Y1ÈY permutera circulairement les valeurs d’un nouveau cycle de À fonctions y:.1, Xn+2s --.., Yx différentes des premières ; si 2h < m, on continuera de la même manière, de façon que les m fonctions se partagent en cycles d’un même nombre d'éléments. C’est impossible puisque m est premier absolu, par conséquent } — m, et Y perinuléscircularement les valeurs "yt, ÿ25.-.,.yn, denplus 2° 'est CHOUETTE CNE PUIS ANCIEN (ransiorment dy; respectivement en #1, #2, :.., Ym, de Sorte que les substitutions de G' sont de la forme
So (OM ER D OA nu 1},
Cela posé, soit w une racine primitive de w*—4 — 0, et posons De EAU NATE crie Ym.
C'est une fonction qui reste invariable pour les substitutions de
G; on aura ses valeurs pour celles de G en lui appliquant les puissances de ©, ce qui donne
2 — 2 a OY3 + sr. DR T1 wo,
Ds = Ya + wy + Huity, = 001
Cno Xi ne GRR PSS HER = mr :
ce sont des valeurs différentes de la première. Il pourrait arriver pour un choix particulier de y, que +, reste invariable pour certaines substitutions ne faisant pas partie de G', mais on peut toujours prendre pour y, une fonction telle que cela n'ait pas lieu ; en prenant par exemple, comme on l’a vu, y = (u—dbijfu— 1%)... .(u— %,),
où Y, est la fonction de Galois, 1, M, ..., 4, ses valeurs pour le groupe G, on peut donner aux coefficients des valeurs telles que #, varie pour toute substitution n’appartenant pas à ce groupe.
De cette façon on a formé une fonction +, appartenant au groupe G et dont les m valeurs pour G sont racines d'une équation binome de degré m; toute autre fonction appartenant au même groupe G s’exprimera rationnellement au moyen de celle-là.
24. COROLLAIRE 1. — Si une fonction rationnelle de n variables a plus de deux valeurs pour toutes les substitutions, ses valeurs ne peuvent être les racines d'une équation binome à coefficients symétriques.
En effet, si une fonction +, à p valeurs 1, ®,, ...; à, esttelle que ses o valeurs soient racines d’une équation binome
DOTE ee. [Ale 0:
legroupé G = (S;, S&, ..:, S,) de c;-doit être un sous-groupe. invariant du groupe symétrique, et de plus il doit exister une substitution ? d'ordre 9 telle que celles du groupe symétrique soient de la forme S,X*; or pour n>4 le groupe symétrique n'a pour sous-groupes invariants que le groupe alterné et le groupe réduit à la substitution unité ; au premier appartiennent les fonctions à deux valeurs ; au second les fonctions à n! valeurs ; mais aucune n'est racine d’une équation binome de degré n!, car le groupe symétrique serait composé des puissances d'une substitution Ÿ d'ordre n! et il n’en existe aucune pour n >2 ($ 3).
Pour n — 4, outre les deux cas que nous venons de mentionner, peut se présenter celui du groupe H d'ordre 4 qui est sousgroupe invariant du groupe symétrique ; mais il n'existe aucune substitution Ÿ d'ordre 6 telle que les produits des substitutions de H par les puissances de È constituent le groupe symétrique. Il n'y à donc que les fonctions du groupe alterné qui puissent, avec leurs valeurs conjuguées, être racines d’une équation binome à coeflicients symétriques ; cette équation est du second degré.
25. COROLLAIRE IL. — Si une fonction rationnelle de n variables, n étant supérieur à 4, appartient à un sous-groupe du groupe alterné, el a m valeurs pour les substitutions de ce groupe, ces valeurs ne peuvent être racines d'une équation binome dont les coefficients appartiennent au groupe alterné.
Supposons en effet qu'il existe une fonction dont les m valeurs pour les substitutions du groupe alterné soient racines d’une équation binome ; son groupe doit être un sous-groupe invariant du groupe alterné, et se réduire, pour n >4, à la substitution unité, comme on l’a vu au K 11. Le groupe alterné lui-même doit
alors se composer des puissances d’une même substitution d'orn | . 4 f : : :
dre g * INals ON à VU que € est impossible pour n > 3 (3).
