FONCTIONS RACINES D'ÉQUATIONS BINOMES

Examinons les cas particuliers de n —3 et n— 24, auxquels ne s'applique pas le raisonnement précédent.

Pour n—3, le groupe alterné se compose précisément des puissances X°, X1, Y? d’une substitution circulaire d'ordre 3, telle que = (mx%), je vais montrer qu'il est possible de former une fonction de Galois dont le cube appartient au groupe alterné et a deux valeurs.

Prenons en effet une fonction de Galois quelconque,

VU = Wii + Urlo + Usds, et ses valeurs pour le groupe alterné :

Vi; Vo = Uils + Us + UT el Vs = ils + Url + Us;

d'après ce que nous avons dit à la fin du S 23, nous devons former, au moyen d’une racine cubique de l'unité, la fonction di+uwbs+w?b, dont la valeur est

+ ob, Ho — fus + ou + our + WT + w°%3) ;

nous pouvons, ce qui ne change pas le résultat, nous limiter à la

fonction suivante :

VA Æ dir = OM Se D°T3 :

elle répond à la question, et l’on a, en calculant son cube,

3 (l Mo Dai + Gtiors — Eire — 3{ 0 + — (as — 22)(d2 — ds) — di)

pa =

Or LUE ire lle (0 + NE

où À est le discriminant; c’est bien une fonction du groupe alterné.

Pour n—=%4, il n'existe aucune fonction à 24 valeurs répondant à la question, car il n'existe aucune substitution circulaire d’ordre 12 dont les puissances constituent le groupe alterné; il ne peut s’en trouver que parmi celles qui appartiennent au groupe H d’ordre 4, qui est sous-groupe invariant du groupe alterné. En se reportant au tableau du $ 8, on voit que ce dernier groupe est dérivé de H en multiplant ses substitutions par les puissances de la substitution circulaire d'ordre 3 >= (rirsr3). ”

On prendra alors, en posant, comme on l'adéjà fait, o = 21%: + dt, la fonction %—+%, appartenant au groupe H, ses valeurs 9: — 0; et %; —u obtenues en effectuant les substitutions È et XZ?, et la

somme SLT RO eme Re mL

où w est une racine cubique imaginaire de l'unité, ou bien encore

Zi = Op Woo W)?03 = (æiT9 Sie T3T4) +uw(Ti3 + L2T4) + DLL, + LT),

qui ne diffère de la première que par un facteur constant ; z° s’exprime au moyen des fonctions symétriques de 1, %, #, et de leur discriminant par un calcul identique à celui que l’on a fait pour n = 3; ona vu que le discriminant des trois valeurs e est identique à celui des quatre variables x, par conséquent z° est une fonction appartenant au groupe alterné.