OR CR R

Les groupes cycliques qu'elles déterminent sont les transformés C1, Go, ..., GX de C par ces substitutions ; nous verrons plus loin qu'ils ne sont pas tous distincts.

Nous appellerons fonction cyclique toute fonction appartenant à l’un des groupes précédents ; il est facile d'en former une appartenant au groupe GC par exemple ; désignons par w une racine primitive de l'équation x”—1 —Q, et considérons la fonction

Wi = (Ro + DU HW + Hotie, ,) = 4};

elle reste invariable par les substitutions du groupe, car S, a pour effet de multiplier la fonction de Galois entre parenthèse W, par We CL par un M; TÉCIprOoquement SiMune SUhSiituLION laisse invariable la fonction w,, elle a pour effet de multiplier 4, par une racine n° de l'unité, par exemple par w*, et par suite d'augmenter chaque indice de z, comme le fait la substitution $, du groupe cyclique; w, appartient bien au groupe G.

Les fonctions cycliques jouissent de propriétés remarquables et jouent un grand rôle dans la théorie des équations, comme nous le verrons plus loin; la première de ces propriétés résulte du théorème suivant. |

THÉoRÈME. — Chacune des variables est une fonction rationnelle de l’une d’entre elles et d'une fonction cyclique arbitrairement choisies, les coefficients de cette fonction rationnelle étant symétriques.

Soit, en effet, ya(%o, di, ..., %n-1) une fonction cyclique appartenant au groupe OC, et x, une des variables; le groupe CG, et celui auquel appartient x,, qui est le groupe symétrique G des n—1 variables %1,%:, ...,æ%,1 n’ont en commun que la substitution unité, car il n'existe dans le groupe cyclique que cette substitution laissant x, invariable ; par suite la fonction

UoTo a UYi(To; Lis QCNON FR À

où w, et w, sont arbitraires, est une fonction analogue à la fonction de Galois, au moyen de laquelle s'expriment toutes les autres et en