FONCTIONS CYCLIQUES

particulier les variables 2%, æ, 4, ..., +, ; elles s'expriment ainsi rationnellement au moyen de x et de 1, avec des coeflicients symétriques par rapport aux n variables.

27. Toute fonction cyclique acquiert pour toutes les substitutions N —={n—1)! valeurs conjuguées satisfaisant à une équation de degré N à coefficients symétriques ; ces valeurs sont toutesdes fonctions cycliques, car leurs groupes sont des transformés de C, et sont cycliques ; on obtient ces valeurs conjuguées en opérant sur la première les N substitutions du groupe symétrique G. Remarquons encore que l’on obtient, comme au $ 14, le groupe symétrique en multipliant les substitutions de C par celles de Go, car toute substitution se ramène d’une seule manière à une substitution du groupe C suivie d’une autre qui laisse x, invariable; il résulte de là que les groupes relatifs aux N valeurs conjuguées sont précisément les

groupes cycliques conjugués C4, CG, ..., GC du $ précédent, c’està-dire

>, C2, DCS, TR 2x Ca, OU, 2, 2 sont les Mint} Substitutions du groupe SYMOIHQUBUET. 1. den.

Tous ces groupes conjugués n’ont, comme on sait, aucune substitution qui leur soit commune à tous, en dehors de la substitution unité, mais je vais montrer qu'il n'y à parmi eux que (n —2)! groupes distincts, et qu'ils sont respectivement égaux n—1 à n— 1, en supposant toutefois essentiellement que n est un nombre premier.

Je vais chercher pour cela s’il existe une substitution Ÿ laissant +, invariable telle que X1S$E soit égale à l’une des substitutions

D, Si NUE | Lo Ai XL ..., Lai ) ad — X0 T4, Lt, nier Li, 4 est une telle substitution, on a æ QUE | & | 7 a : 2 DST = (dot Le, Le):

pour qu’elle appartienne au groupe G, ilfautque #1 —#{ soit constant et égal à { —0 = 4, donc que

b—2h, b—=34, ..., nu — (n us 1)4,

par suite que 2 soit de la forme

RES ( 0 VIT le Res ML | ei Ù Lo y La ..., L(n1r ce que nous indiquerons par la notation RAA (E (mod. n);

de plus, que les restes à n, de 6,26, ...,(n — 1jf soient les n — 1 premiers nombres, ce qui a lieu pour toute valeur de comprise dans la suite 1,2, ...,n— 1, puisque n est premier absolu.

Réciproquement, toute substitution Ÿ de la forme précédente répond à la question, et esttelle que 27!C;Z= G ; si l'on prend en effet le nombre {’ tel que {{=1 (mod. n) et si l’on remarque HUCID ES DNS SPRL

PARIS de sorte que le groupe ÈTICÈ contient $S, et ses puissances ct est identique à Ci.

Aux nn 1 valéurs de M2 in AL ENCOrrespondent n — 1 groupes conjugués identiques à GC, ; d'une manière générale, les N groupes se partagent en (n —2)! séries comprenant chacune n —1 groupes identiques. On en conclut que, parmi les (n—1)! fonctions cycliques conjuguées, on peut en choisir (n — 2)! particulières telles que les autres en soient des fonctions rationnelles à coefficients symétriques.

28. Toujours en supposant n premier absolu, les produits des substitutions du groupe cyclique C, par les substitulions

DUR TA ON En) AU AO SR Et constituent un groupe ; cela tient à ce que haie 22 — Di, 5, == De

d'où, en multipliant en avant par 2. S23/=2;$S%, mou bien Si, = ESF, a et B étant liés par «= 8 (mod.n); par suile un produit tel que (S?2,)(SF2,;) se ramène à la forme SX, et fait partie du même ensemble que les facteurs ; ce groupe, qui comprend n(fn— 1) substitutions, peut être représenté par la notation