DL CRETE EN

M—]|3 az+0b| (mod.") (oi US Lg

FONCTIONS MÉTACYCLIQUES 49

et il s'appelle groupe métacyclique relatif aux n variables Los Lis +. En. Toute fonction appartenant à ce groupe s'appelle fonction métacyclique (*) ; ilest facile d’en former une particulière de la manière suivante :

Soit g une racine primitive (mod. n) {Voir la note à la fin du volume] ; les restes (mod. n) des n— 1 puissances 9, g?, ..., g"1 sont les n—1 premiers nombres; considérons les fonctions cycliques

= (æo + DIT + D + +: wir, }" — pr W3 = (Lo + 2, ae WT a ion ufr 14", mi) FF v?,

nl n—1 —1gn—1 Wnna = (To mn 02 MU 2 re OONUE 2m m wir 19 Ln 1)" CS Ur 4,

qui appartiennent au groupe C; elles se transforment les unes dans les autres pour les substitutions du groupe métacycelique ; soit eneffet Ÿ,—|z1:|(mod. n) une substitution particulière de ce groupe ; elle transforme w, en

Wh — (To ne WI" æ, + DA D, + È L ou, en introduisant le nombre {’ telque {=1 (mod.n), et po-

SLR) 0E

1h Rh—-k ogh+k

DAC W, = !Lo+w! J Li+w°t J Lake. )"= (T0 + uw Li La" = Wr ;

lorsqu'on prend pour À les valeurs 1,2, ...,n —1, les nombres hk+ k ont pour restes (mod. n) les n—1 premiers nombres dans un ordre quelconque; par suite les nouvelles valeurs WA 0e... Uni SON IUeNLIQUES, dl OrATEr Prés, 4 Wi Wasnnn, Wa: Les substitutions du groupe métacyclique étant composées de celles du groupe C et des substitutions X,, laisseront par suite invariables les fonctions w, ou les transformeront les unes dans les autres.

Ce sont les seules qui jouissent de cette propriété, car si une substitution T change w, en w,, elle transforme ; en dz, à un multiple près égal à une racine n° de l’unité ; par exemple en w“, c'est-à-dire

L } Lo + 0 Li + WA D + en

k ont ro + op, + T2 ps HE +... :

(*) Kronecker, Monatsberichte, 1879, p. 217.

VOGT. — RÉS, ALG. 4

prenons les deux nombres a et b tels que

Rate bg" —=() (mod. n), L+ (a + b)q" re g® (mod. n);

alors on à ag" = g}, zag.= 29" et l+ (az + bg" = zg};

par suite, à cause de l'indépendance des variables et de l'inégalité des coefficients, la substitution T a pour effet de transformer Lo, Lis La CUCSDECLINCINENL ENT, Dr De LOL CU PINCE

à la substitution |z az+b] (mod. n)

du groupe métacyclique.

11 résulte de cette propriété de l’ensemble des fonctions cycliques précédentes que la fonction

(ao — wi)(w — w:)...(w — Wy 1),

où w estune quantité arbitraire non nulle, reste invariable pour les substitutions du groupe métacyclique et pour celles-là seulement, et appartient à ce groupe.

Toute MIonCti0neCYChQUENAENT EU 0 M RDA CXCID DIEM

fonction (aus — AUS —- Ua + … + CHERE

où « est une racine primitive de l'équation æx#1—1—0, appartient au groupe métacyclique ; nous avons vu en effet que toute substitution Y, a pour effet de transformer w, en wy;x, où À est fixe quel que soit h, par suite de laisser invariable la fonction cyclique que nous avons écrite, et on démontre comme précédemment que les substitutions du groupe métacyclique sont les seules possédant cette propriété.

Remarquons que nous venons de former une fonction du

groupe Cu, Wa + Ga + ee HA Un 4,

qui est racine d’une équation binome à coeflicients appartenant au groupe métacyclique, car sa puissance (n—1}) appartient à ce groupe : on vérifie du reste facilement qu'on se trouve placé dans les conditions dont nous avons parlé au $ 23 pour qu'il en soit ainsi; le groupe cyclique C est en effet un sous-groupe invariant particulier du groupe métacyclique M.

29. Nous pouvons encore énoncer un théorème concernant les fonctions métacycliques, et analogue à celui du $ 26 :