FONCTIONS CYCLIQUES GÉNÉRALES

THÉORÈME. — Chacune des variables est une fonction rationnelle de deux d'entre elles et d'une fonction mélacyclique arbitrairement choisie, les coefficients de cette fonction rationnelle étant symétriques.

SOLE ER Rd BON AUDeMOnCtionvnéltacyciiquerappartenant au groupe M et x;,, x, deux quelconques des variables ; il n'existe dans le groupe M aucune substitution autre que l'unité laissant À et k fixes, car si l’on a ah+b—=h et ak+b—=k, on en déduit a—1 et b—=0 (mod.n); par suite le groupe M et le groupe symétrique des n—2 variables autres que x, et x; n'ont en commun que la substitution unité, et la fonction |

UoTn + Uidr + UMULo, Li, En)

est une fonction analogue à la fonction de Galois, au moyen de laquelle s'expriment rationnellement toutes les autres et en particulier les variables ; celles-ci sont donc des fonctions rationnelles de Tr, €, et M, avec des coefficients symétriques.

Toute fonction métacyclique acquiert pour toutes les substitutions (n —2)! valeurs conjuguées satisfaisant à une équation de degré (n—2)! à coefficients symétriques ; ce sont des fonctions métacycliques, à la notation près des variables; on les obtient en laissant æ et x, invariables et effectuant sur les n—2 autres variables La, La, +) Ln y toutes les substitutions possibles dans la fonction donnée appartenant au groupe M; cela tient à ce fait que les substitutions du groupe M multipliées par celles qui ne changent que Lay Lay. En 1 reproduisent toutes les substitutions possibles des n variables.

30. Nous allons généraliser la notion de fonction cyclique et de sroupe de substitutions cycliques, comme l’a indiqué Kronecker dans son mémoire « Sur les Équations abéliennes (*) ».

Nous avons considéré précédemment n variables %,, 21, .…., Zn1 et le groupe d'ordre n formé par la substitution circulaire ST tn etSes-puissances:

Nous dirons que les fonctions appartenant à ce groupe sont des fonctions cycliques simples des variables, ou à simple entrée.

Prenons maintenant n— nm, variables affectées chacune de deux indices

(*) Knoxecken, Monatsberichte, 18TT, p. 845.

M 0, 1 2, .. ie) PR de 22 AO No — 1 et les substitutions circulaires portant sur l’un des indices indépendamment de l’autre; elles forment un groupe composé des substitutions

Thin)

Di (Too L10 D20 En 10) Loi Lil CNRS EE Den EE Lino1e- «ny not)» S2 — (Too To: Lo2e Ton) 1 )(L10 ii 42e «Lans a)ee(Uns-10 Eny11e Prin 1);

qui sont respectivement d'ordre n, et », de leurs puissances et de leurs produits; comme les substitutions $S, et $, sont échangeables, c'est-à-dire que SiS = S$S, le groupe renferme mn, substitutions ; on peut le représenter par la notation

[za +1 (mod. n;) | Z2 Zs + | (mod. Na);

z1 et z, représentant les deux indices. Toute fonction appartenant à ce groupe sera dite une fonction cyclique à deux entrées.

Plus généralement, soient n—m...n, variables affectées chacune de v indices

Pur ca(ue0,1,02,.-uu du 0 2m 1600 1700)

et les substitutions circulaires d'ordres respectifs mu, n+, ...,n, relatives à chacun des indices indépendamment des autres,

[za +] (mod. ru), |Z2 S+1l (mod. n,), ls ss AN (mod. n,);

elles sont échangeables et engendrent un groupe d'ordre n = M:...n,; toute fonction invariable par les substitutions de ce groupe sera dite une fonction cyclique à v entrées.

31. Le théorème du $ 26 s'étend aux fonctions cycliques générales; cela résulte de ce que le groupe cyclique ne renferme aucune substitution autre que l'unité laissant fixe une des variables. Il est facile de former une fonction d’une variable donnée et d'une fonction cyclique qui soit égale à l’une des autres variables; considérons en effet le produit

PC) = fr — Tune,