RAR

f(x, y, 3,..., R', R',...) WR', R',...) (a y

en fonctions entières en æx,y,2,..., à coefficients rationnels en R', R’,..., on opérera la décomposition des fonctions entières f, ?, Ÿ en leurs facteurs entiers irréductibles, et l’on attribuera aux

diviseurs de f, comme facteurs, des fractions divisant --, et sé

cela d'une manière arbitraire ; nous supposerons désormais que l’on ne considère que des fonctions entières, à coefficients entiers par rapport aux paramètres, ce qui ne change rien aux raisonnements.

37. Soit f(x, R', R’,...) — O0 ‘une équation algébrique entière par rapport à x, dont les coefficients sont des éléments du domaine (R’, R’,...); nous savons reconnaître si le premier membre est réductible ou non, et trouver ses facteurs irréductibles dans le domaine ; si / est irréductible, nous dirons que l'équation f — 0 est irréductible dans le domaine de rationalité; si n est son degré, ses n racines seront x fonctions algébriques du domaine, et nous dirons qu’elles sont conjuguées.

THÉORÈME. — Siune équationalgébrique F(x, R', R'...)—0 a une racine commune avec une équation irréductible f(x, R', R’, ...) = 0 dans le même domaine de rationalité, elle admet toutes les racines de celle seconde équation.

En effet, les deux polynomes F et f ont un plus grand commun diviseur D que l’on sait déterminer par divisions successives ; si D a un degré inférieur à celui de f, f est décomposable en un produit de facteurs entiers en x, dans le domaine (R', R’...), et par suite n’est pas irréductible dans ce domaine, contrairement à l'hypothèse, dès lors D est identique à jf, et F est égal au produit de f par un polynome entier ; par conséquent, F = 0 admet toutes les racines de l'équation irréductible f = 0.

Nous appellerons équation générale de degré » une équation de la forme

A UE EE et me er 0 en pour laquelle le domaine de rationalité est constitué par les coefficients Ci, €, ..., C», supposés indéterminés et indépendants; ce domaine (C1, €», ..., Cn) est identique à celui des fonctions NUIT PA N/e r nREdeSiN racines 2 3. la mRSnl On fait varier d'une manière quelconque les paramètres c, les racines

varient, et l'équation générale f(x) = 0 jouit précisément de la propriété fondamentale suivante : le système des n variables Ci Cas... © — eStéquivalentiau système des nrautres variables Li, Las +. Ln. En eflet, à tout système de valeurs des c correspond un système unique de valeurs des +, et réciproquement, etsi les unes varient d'une manière continue, il en est de même des autres.

L’équation générale est irréductible dans le domaine des fonctions symétriques ou dans le domaine des coefficients (ci, C2, ..., Cn): autrement dit, le premier membre f(x) n’est pas décomposable en facteurs entiers en x, à coefficients rationnels par rapport aux coefficients c. En effet, si cela avait lieu on pourrait, comme on l’a vu précédemment, mettre f(x) sous la forme du produit de deux polynomes entiers non seulement par rapport à #, mais encore par rapport à C1, C,..., Cn, avec des coefficients entiers ; comme f(x) contient linéairement les coeflicients c, l’un des deux facteurs les renfermerait aussi linéairement, tandis que l’autre en serait indépendant et aurait comme coefficients des nombres entiers. Supposons donc que l’on ait

f(x) = (x) (x), où (x) est un polynome entier à coefficients numériques et entiers; donnons à x une valeur entière arbitraire x, ; nous pouvons ensuite donner à Ci, C,..., © des valeurs entières telles que f(x) ne soit pas divisible par le nombre entier c(x); comme e(x) et 4(x,) sont des nombres entiers, on voit que l'égalité précédente est impossible, et par conséquent que f(x) est irréductible.

Toute équation dont les coefficients font partie d’un autre domaine que celui des fonctions symétriques des racines est une équation particulière ; par exemple une équation à coefficients numériques, enüiers ou fractionnaires, est une équation particulière dont le domaine de rationalité se réduit à celui des nombres entiers; en général, les fonctions symétriques, ou bien les coefficients d’une équation parüculière sont des éléments du domaine de rationalité, mais ils sont fixes ou sont reliés par des relations, ce qui fait qu'il peut exister pour une telle équation des relations entre les racines.

Une équation particulière peut être réductible dans le domaine de rationalité choisi; si l'on prend par exemple comme domaine de rationalité celui qui cst défini par les racines (a, 2, …, æ,), les

coeflicients s'expriment comme on sait au moyen de ces éléments, et le polynome est décomposable en facteurs linéaires dans le domaine sous la forme

Pour une équation particulière, les coefficients ne font pas toujours partie du domaine de rationalité, mais renferment quelquefois

des fonctions algébriques des éléments de ce domaine, ou encore, comme cas particulier, des racines d'équations entières à coefficients

entiers.

SUR © cout ue elle tonchons als6briquesdenR Re "tr on dit que les coefficients font partie du domaine de rationalité, (R’, R', ...), auquel on adjoint les fonctions algébriques R:, R:, …

des éléments de ce domaine.

Par exemple, l'équation se CRE)

a ses coefficients faisant partie du domaine des nombres entiers, auquel on adjoint une racine de l'équation R?—3 — 0.

38. Nous nous proposons de chercher si une fonction entière d’une variable (on peut ramener à ce cas celui de plusieurs variables) est duché omondanslodomanmeénéralmtR; Re 70h R 0) et de résoudre en même temps le problème suivant : chercher si une fonction dont les coefficients font partie du domaine (R/,R’,...) et qui est irréductible dans ce domaine est réductible ou non lorsqu'on adjoint à ce domaine des fonctions algébriques R;, Rs, ... : les deux questions sont identiques.

Remarquons d'abord qu'on peut remplacer l’adjonction de plusieurs fonctions algébriques par celle d’une seule convenablement

choisie ; soient R,, R,, ... des fonctions définies par les équations irréductibles DR PRe Re ai 0 LORS RERO

Prenons la somme uR; —- UaR> —+- Lu

OÙ W, W, .. sont des constantes laissées arbitraires ; le produit (3 — uR, — u2R2 — :::),

étendu à tous les systèmes de valeurs de R;, R:, .. , est une fonc-

tion symétrique de ces quantités, et est une fonction %(z, wi, Uu2, …, R', R’,...) du domaine (R’, R’,...); décomposons-la en ses fac-

teurs irréductibles par rapport à z, wi, &, ... dans le domaine précédent et désignons par (3, w,...) celui de ces facteurs divisible par 2%—U1R4—u2R:—...; en posant W— +, U = Du, ...,

OÙ %,%,... Sont des nombres rationnels particuliers, on obtient la

fonction D;(2 00 0), NDS a PRE ENIR 7e)

qui s’annule pour 3 = (v, +a,)R, + (vw +æ)R; + ...; en rempla-

çant d'autre part ui, Ur, ... par vi, 0... et 2 par 23—R;—R:—..., on obtient la deuxième fonction Pi(z ST 1 Ra Ex 42 R> FN ES Ee 0EX bots R R4 ee D qui s’annule pour 3 — R — hs —... = Ru +uh +, ces deux fonctions ont en commun le facteur Z — (0 on %)R; — (02 2 d>)R2 rte et n’en ont pas d'autre si &,, «, .. sont choisis de façon que l’équa-

tion (rs, 1,1, 0, RURS CN OMriT ES CSAraciINnes IS Inc es par l'opération donnant le plus grand commun diviseur, on aura le diviseur commun, et par suite en l’annulant on obtiendra

(viR: + voR: + .)+(uRi + d9R2 +.) en fonction rationnelle de 4, de, ..., 1, &, ... etde

11e — a R: —- a43R2 + HAS qui est racine de l’équation

B,(R, ts Use. s he R’, Sous) — 0;

il suffit de donner, à la fin du calcul, des valeurs numériques rationnelles particulières aux indéterminées vw, , ... pour avoir R;, R>, ... exprimés rationnellement au moyen de la seule fonction algébrique R.

On verrait plus généralement que l’adjonction de fonctions algébriques liées entre elles et aux paramètres R', R’, ... par des équations quelconques se ramène à l’adjonction d’une seule fonction des paramètres.

39. Cela posé, soit f(x, R, R’, R, ...) une fonction entière en x, dont les coeflicients font partie du domaine défini par R’,R”, ..

auquel on adjoint une fonction algébrique R, liée aux paramètres par une équation irréductible e(R, R’, R’, ...) —0, de degré n; je désigne ses racines par R;, R,...,R,. Comme R peut ne pas entrer dans f, je remplace æ par z2+uR, etje forme le produit