TÉRÉÉETUR EN RENTRER PU

étendu à toutes les racines R, ; c'est une fonction symétrique de ces racines, et par suite une fonction entière de z et u dans le domaine (R’, R’,...); je la décompose en ses facteurs irréductibles dans ce domaine ; soit

HAE URENR RSR = Dis) Prob fe)

Une fonction telle que %(:) a un diviseur commun avec fi + uRi, R,...) par exemple ; je forme le plus grand commun diviseur de ces deux fonctions, soit 0(3, R;); on sait qu'il leur est relié par des identités de la forme

O,(z, R;) —— P(z L Yz, R) + fs + uR;, R:, A 4e R;), Pis) — Di(z, R;)li(z, Ri), HEURE R EE UI0 (Riz) Ru).

Ces identités ayant lieu pour une racine de l'équation irréductible qui définit R,, ont lieu pour toutes les autres, d’où l’on conclut que 0,(3, R;) est le plus grand commun diviseur de ,(:) et de PURE RE 0).

On a du reste Pat Ra RE TR)

en effet, le second membre est un diviseur de %, car les facteurs qui le composent divisent %,, et l’on verrait facilement qu'ils sont premiers entre eux ; d'autre part les identités précédentes donnent, en formant le produit des valeurs de 6(z, R;), G(z, R:), ... tirées de la première et des analogues, une identité de la forme

H0,(3, Rx) = P(s)H(s) + f(3+uRx, Rx, ...)K(z),

où le produit qui entre dans le second membre est égal à D(z)P(z)...; on en conclut que le produit des fonctions 8 est divisible par (3); il lui est par suite identique.

VOGT. — RÉS. ALG. 5

Si l’on répète le même calcul avec (2), ..., D.(z), on a de nouveaux diviseurs .0:(2, Rx), ..., 0,(z, R;) ; on a alors, quel que soit #,

f(z = uRx, Rx, Bic 4 — Oz, Rz)0(z, Ro ° 0 (2, Re

il suffit de remplacer ensuite z par æ—uR; pour avoir une décomposition de f(x) en v facteurs; il sont irréductibles, car si 6, par exemple était décomposable en plusieurs facteurs, æ,(:) qui est le produit 11;0(z, R;) serait décomposable dans le domaine CÉSAR

Par exemple la fonction

HN re te

est réductible dans le domaine formé par les nombres entiers auxquels on adjoint une racine de l'équation R?—3 —0; en posant R; —= V3. R> —= — R, tou — (U On à

f(x, RER) = Er 9er CP)

Les diviseurs communs de ces facteurs avec 2°—x—+2R, sont respectivement æ+R, et x? —R;x+2, de sorte que

fe, Ra) = (œ + R)(e? — Rx +2) = (x + V3 (x? — xÿ3 +2).

40. REMARQUE. — Les questions que nous venons de traiter sont purement algébriques, et ne s'appliquent pas immédiatement à la géométrie ; nous avons étudié la réductibilité des fonctions entières dans un domaine donné à l'avance, et nous avons remarqué qu'une fonction irréductible dans un domaine peut le devenir dans un autre; par exemple une fonction d'une seule variable est toujours réductible en facteurs linéaires lorsqu'on adjoint au domaine de rationalité les fonctions algébriques définies par la fonction égalée à zéro. Pour les fonctions de plusieurs variables, il n’en est plus de même ; une telle fonction peut rester irréductible quelles que soient les quantités adjointes au domaine de rationalité.

En géométrie, on dit qu'une courbe ou une surface représentée par UnééquatiOn MC Une U RR EME OR EST dnEtiDIeEt le premier membre admet des diviseurs entiers par rapport aux variables, avec des coefficients faisant partie de domaines quelconques, irréductible dans le cas contraire.

La méthode ordinairement suivie pour voir si une fonction est réductible dans ce sens plus général consiste à essayer la division par une fonction de degré moindre, à coefficients indéterminés, et à chercher les relations auxquelles doivent satisfaire ces coefficients pour que la division soit possible. La théorie générale de l’élimination montre si ces relations sont compatibles ; elle nous apprend de plus qu'il suffit d’adjoindre des fonctions algébriques des éléments du domaine donné primitivement, en nombre limité, pour effectuer la réduction de la fonction lorsque celle-ci est réductible ; elle nous donne non seulement ces fonctions algébriques, mais encore les diviseurs de la fonction.