FONCTIONS DES RACINES D'UNE ÉQUATION

que, pour une autre substitution telle que È n’appartenant pas au groupe G, + reprenne la même valeur numérique, ou la même valeur fonction algébrique des paramètres R, R/, R’, ... qui définissent le domaine de rationalité. Nous dirons pour simplifier que o ne change pas sa valeur numérique dans le domaine considéré; cela a lieu alors pour toutes les substitutions GS, et, plus généralement, les substitutions laissant invariable la valeur numérique de © forment un groupe G contenant G comme sous-groupe ; on reconnaît que G’ est un groupe plus général que G à ce que l’équa-

n | — tion qui a pour racines les 2 = — valeurs algébriques de + a des

racines multiples dont l’une est égale à ©; si © est racine d'ordre m, l’ordre de G est égal à mr.

Par exemple, considérons l'équation bicarrée

za + px + q = 0 dont les racines 2, %:, æ3, x, sont supposées telles que l’on ait = —L, % = —--%; la fonction o —1+x appartient algébriquement au groupe Cri Te Ti | id) sti)|,

mais reste numériquement invariable pour = (mx;)(#æ,) et pour les produits des substitutions de G par X, constituant avec G un groupe d'ordre 8 ; cela tient à ce que +2 = æ3 + & = 0 et que l'équation qui a pour racines les six valeurs algébriques de #, a une racine double égale à zéro.

« 42. THÉoRÈME. — J{ est toujours possible de former une fonction des n racines d'une équation ayant, pour toutes les substitutions, n! valeurs distinctes numériquement dans le domaine de rationalité. Prenons la fonction VU = ils + Ule + + Una et ses valeurs d,, 4, ... pour les n! substitutions ; formons toutes les différences possibles de ces valeurs deux à deux ; il est possible de choisir les coefficients uw de façon qu'aucune ne soit nulle; en effet, ordonnons chacune d'elles suivant les paramètres uw, uw, ...,u, sous la forme

Va Ye = Wide, — La) + We, — Tes) + UT, — Tri).

Toutes les différences x,—x, entrant dans le second membre de l'égalité précédente ne sont pas nulles, puisque les racines sont inégales ; prenons toutes les fonctions %,—4%, ne renfermant que u, et indépendantes de w, ..., uw, ; elles ne sont pas nulles, quelle que soit la valeur attribuée à w,; prenons ensuite celles qui renferment w, et w; ayant choisi arbitrairement w,, on pourra exclure les valeurs de #; qui les annuleraient, et choisir le second paramètre #, de façon qu'aucune ne soit nulle , en considérant ensuite celles qui renferment u,, w, et u;, on pourra choisir w; pour qu'elles ne soient pas nulles, et ainsi de suite ; de cette façon les n! valeurs de Ÿ, seront numériquement distinctes.

THÉORÈME. — /l est toujours possible de former une fonction des n racines d’une équation, invariable algébriquement pour les substitu-

Q ax n | , tions d’un qroupe G d'ordre r. et dont les — — valeurs algé- : PES

briquement distinctes pour toutes les substitutions le soient aussi numériquement dans le domaine de rationalité.

Soient 4, W,..., 4, les valeurs de la fonction de Galois que nous venons de déterminer, pour les substitulions Si, S:,...,S, du

groupe G; elles sont algébriquement et numériquement distinctes ; formons le produit

= (u— ju —#)...(u—%); il appartient algébriquement au groupe G et a 9 valeurs algébriquement distinctes ; soient

Pa (u—%e, (u—Ys.). . NO) et Pau — vb )}(u—v,). POUR

deux de ces p valeurs ; elles ne sont pas numériquement identiques quel que soit uw, car sinon les fonctions 4, et 4, seraient respectivement égales à l'ordre près, et +, serait algébriquement égal à e., ce qui est impossible ; on pourra donc exclure les valeurs de uw satisfaisant à l'équation non identique ©, —+, = 0 et à toutes les autres analogues et donner dès lors à w une valeur pour laquelle les , valeurs soient distinctes numériquement.

COROLLAIRE. — Au moyen d’une fonction appartenant au groupe G et dont les valeurs algébriquement distinctes le sont aussi numériquement, on peut exprimer rationnellement toute autre fonction apparte-

FONCTIONS DES RACINES D'UNE ÉQUATION fa

nant algébriquement au même groupe ou à un autre contenant le premier.

I suffit en effet de reprendre le raisonnement du $ 17, et d’exprimer la fonction 4 que l’on veut calculer au moyen de la fonction donnée ?, en se servant de la formule de Lagrange: le polynome

W(z) = DAT P(z) ni

| -G & oi > ë,

donne %, quand on remplace z par e,; le dénominateur commun est le produit I'(e,), et il n’est pas nul puisque l'équation P(z) — 0 a ses racines inégales.

Lagrange, dans son célèbre mémoire sur la résolution des équations (”*), a examiné le cas où l’on donne une fonction quelconque v, des racines appartenant algébriquement au groupe G, et où l’on veut calculer une autre fonction appartenant algébriquement au même groupe ; si les p valeurs de *, ne sont pas numériquement distinctes, la méthode précédente est illusoire ; il faut dans ce cas résoudre une équation d'ordre plus ou moins élevé, comme la montré Lagrange dans son mémoire. Nous allons cependant démontrer l'important théorème suivant :

43. THÉORÈME. — Sr une fonction ©, est numériquement invariable pour les substitutions d’un groupe G, toute autre fonction 1 numériquement invariable pour les substitutions du même groupe ou d'un autre le contenant s'exprime rationnellement au moyen de la première.

Soit e, la fonction donnée appartenant numériquement au groupe G, mais algébriquement à un autre groupe G; qui ne peut être que G ou un sous-groupe de G; soit de même 4, la fonction que l’on veut calculer, appartenant numériquement à G et algébri-

quement à un sous-groupe G de G; soit H le groupe commun à 3 EN n !

RCE Sr 7 CStl'Ordre dep ets" on peutimettre les

n ! substitutions du groupe symétrique sous la forme d’un tableau

de la forme HAE ere HE

où Zi. 2, ..., %, sont convenablement choisies (K 6 et 14).

(*) Le Mémoire de LAGRANGE fait partie des Mémoires de l'Académie de Berlin, 1770 et 1771; la partie relative à la question actuelle est reproduite dans l’Algébre supérieure de SERRET, t. Il, p. 433.

Fil RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

Les Pb valeurs de vw, pour %,%,...,XZ, ne sont pas généralement distinctes numériquement; soient 1, 92, ...,®, celles qui le sont ; on pourra toujours former l'équation à coefficients symétriques ayant pour racines les valeurs algébriquement distinctes de +,, et en déduire, par la méthode des racines égales, une équation

ayant comme racines simples %, %, ..., ®,; ses coeflicients seront rationnellement exprimables dans le domaine.

De même les o valeurs de 4, ne sont pas distinctes numériquement en général, mais par hypothèse toute substitution conservant à vw, sa valeur numérique jouira de la même propriété relativement à Y, sans que la réciproque soit nécessairement vraie. Supposons, pour fixer les idées, que parmi les o valeurs de +, en existent m numériquement égales à 1.

Considérons la fonction

W(z) = D Un - AE * es

CON EEE On P Oh

où la somme est étendue aux 9 valeurs que prennent simultanément vw, et % pour les substitutions 2;, %, ..., 2, ; elle est composée de 9 termes qui ne sont pas tous distincts en général;

d’après les hypothèses faites, m d’entre eux sont relatifs à «, et ont tous Y, comme coeflicient, de sorte que la fonction peut s’écrire

P(z il P(z 1 DC M On.

2m Pen) 3— on Pen)

Y(z) —= m4, la somme indiquée au second membre étant étendue aux valeurs de © autres que c4.

Y(z) est, dans tous les cas, une fonction symétrique des x racines Li, La, ..., En, Car elle ne change pas de valeur algébrique pour une substitution quelconque ; elle s'exprime rationnellement au moyen des coefficients de l'équation donnée, et son dénominateur, qui est le produit

(91). 2e). Bo) n'est pas nul, puisque %,%, ...,0, sont racines simples de P(z) — 0; ce dénominateur est du reste le discriminant de œ(z). Soit Wz) — Az! + Az? Ra

FONCTIONS DES RACINES D'UNE ÉQUATION | pa.

la fonction ainsi obtenue; lorsqu'on y remplace 3 par +, elle prend la valeur m4, de sorte que l’on a

mb = Aigit + Ai i ... H A,;

Y, est ainsi exprimé au moyen de % par un polynome entier à coefficients symétriques.

On peut encore raisonner de la manière suivante :

Effectuons sur la fonction +? les substitutions 23, 2, ..., x, et formons la somme des résultats ; c’est une fonction algébriquement symétrique, et par suite rationnellement exprimable ; si nous ordonnons la somme suivant les valeurs distinctes wi, 2, ..., 4, nous aurons

RÉ RS AE Po 0 ee ne ren DUR IR

où %, W,... sont des valeurs de 4, distinctes ou non, de même RUE NÉCrDonnons a ules valeurs 001,9), 0,5 "1 nous aurons s équations linéaires par rapport à md, HV... + V,...; le déterminant A des coefficients est le déterminant de Van der Mond relatif à ©, #,...,0, et n'est pas nul; on aura ainsi en particulier

NEA A ma = ie Ù

où A, est le déterminant fourni par la méthode connue de résolution; sous la dernière forme, AÂ est une fonction symétrique BHO TOM Re 00 LCA

F, 1 1 il 1 | 1 ee F; O2 23 Ds K 21 Da Ds fs : ge 10 51 1

et s'exprime d'une manière entière au moyen des coefficients de l'équation

donc d’une manière entière au moyen de »,; A? est une fonction symétrique qui n’est autre que le diseriminant de (z) et il n’est pas nul. La proposition se trouve ainsi démontrée,

Comme cas particulier de ce théorème, nous avons le corollaire suivant :

COROLLAIRE. — Si une fonction des racines d’une équation est numériquement invariable pour toutes les substitutions, elle s'exprime ralionnellement au moyen des coefficients de l'équation.

Il suffit en effet de prendre pour % la fonction donnée et pour v, une fonction algébriquement symétrique quelconque ou même l'unité. Si H est le groupe auquel appartient algébriquement la

fonction Y, et si r est l’ordre de ce groupe, on aura s = 14 et n |

m—p— —,. de sorte que r

plug: = F(R, R, R',...)

On peut encore dire que la somme des valeurs algébriquement distinctes de 4,, qui est ici égale à bd, est une fonction symétrique des racines et s'exprime rationnellement.

44. En choïsissant une fonction de Galois dont les n! valeurs soient numériquement distinctes, on a une fonction au moyen de laquelle toute fonction des racines, et en particulier les racines elles-mêmes s'expriment rationnellement, comme nous l'avons dit au $ 20.

Il résulte de là que si l’on connaît la valeur d’une telle fonction des racines, on peut déterminer celle des racines elles-mêmes, et l’on a résolu l'équation ; il suffit ainsi, pour résoudre une équation de degré n, et trouver ses n racines, de calculer une seule racine d’une équation de degré n!, dont les coefficients sont rationnellement connus au moyen de ceux de l’équation donnée ; cette équation auxiliaire de degré n! s'appelle équation résolvante de Galois.

Nous appellerons en général résolvante une équation satisfaite par les différentes valeurs d’une fonction déterminée des racines de l'équation donnée, et dont la résolution sert à simplifier celle de cette équation.

La recherche d’une racine de la résolvante de Galois ne complique pas le problème de la détermination des n racines de l'équation donnée, et lui est équivalente; du reste, pour trouver ces dernières, il faut calculer une racine d'une équation de degré n, puis une

GROUPE D'UNE ÉQUATION gi

racine d’une équation de degré n—1 déduite de la première, et ainsi de suite, et le produit des degrés de ces équations successives est égal à n!

45. Une autre notion fondamentale introduite par Galois dans le théorie des équations est celle de groupe d'une équation donnée.

Soit

PORN CPR RER R EEE M CE CURE EC, 70 une équation de degré n dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des éléments d’un domaine (R, R', R”,...) et dont les racines sont 21, %2:,..., 4,. Formons une fonction de Galois

D = Un + Us + 4 + Url

ayant des valeurs numériques distinctes pour toutes les substitutions, et l'équation résolvante

Ve) = (ap) — 4)... (5 — qu) = 0.

Le premier membre est une fonction symétrique des racines x et s'exprime rationnellement dans le domaine ; décomposons-le en ses facteurs irréductibles dans ce domaine, et soit

Wiz) = Wi(z)Wifz)..

cette décomposition; supposons que W(z) soit le facteur contenant z—,, et que l'on ait Wi(z) = (2 — Ms — WU)... .(2—%,);

les fonctions di, W,..., 4, se déduisent de k par des substitutions HORS SUCS IST TON NAS LS... 00 CIIOCIUCOSISUIeS racines ; Je dis qu’elles forment un groupe; en effet, si l’on effectue l’une des substitutions précédentes, telle que $S,, les fonctions VW, d,..., 4, se changent respectivement en des valeurs 44, 4%5,...,4: mais le polynome W(z) est une fonction des racines qui reste invariable, ainsi que ses coefficients : par suite les nouvelles valeurs des % sont, à l’ordre près, identiques aux premières ; si l’on effectue alors successivement deux substitutions S,, S:, %, sera changé en une des r valeurs 4,, de, ..., d,, de sorte que le produit S,S, est une des substitutions de l'ensemble (S;S:...S,); celles-ci forment bien un groupe.

Toute fonction des racines numériquement invariable par les substitulions de ce groupe s'exprime rationnellement au moyen des

éléments du domaine de rationalité. En effet, si of, æ, ...,æ,) est une telle fonction, on peut l’exprimer rationnellement au moyen de lafonction %, de Galois ; soit o(an, ..., 22) — F(4,). Effectuons SUT Zi, %2,...,4n les » substitutions du groupe ; le premier membre v, reste numériquement invariable dans le domaine, etle second devient F(W),..., F(4,), de sorte que

| à a = F(y) = FO) = 2 = F(4) = — (F4) + FC) +];

la parenthèse étant symétrique par rapport à du, ds, ...,4, s'exprime rationnellement au moyen des coeflicients de W,(z), par suite °, a une valeur rationnelle dans le domaine.

Il est évident que si une fonction of, 2, …,æ,) reste algébriquement invariable par les substitutions du groupe, elle est aussi numériquement invariable dans le domaine, et s'exprime rationnellement.

Réciproquement, toute fonction des racines rationnellement exprimable dans le domaine reste numériquement invariable pour les substitutions du groupe précédent.

ENPPTECMSOLUNE EL de PNR OR PE EEtNerON LD rationnellement exprimable ; exprimons le premier membre au moyen de la fonction 4, de Galois; si o, — F(l;)\, on aura une équation de la forme |

F(W) = /(R, R, R',...); comme elle admet l’une des racines de l'équation irréductible W,(z) = 0, elle est satisfaite par toutes les autres, de sorte que l’on a, pour chacune d'elles,

F(Ÿ) = HR pe He: . K) — o1(æ4, Lo, . DUO) He On voit que la fonction +, conserve la même valeur lorsqu'on remplace 4, par une des valeurs %,,...,4, et par suite reste

numériquement invarliable pour les substitutions du groupe. On peut dès lors énoncer le théorème suivant (* :

THÉORÈME. — £'{ant donnée une équation f(x, R, R’', R”,...) dont les racines sont inégales, et dont les coefficients font partie d’un domaine R,R',R”,...), il existe entre les racines un groupe de substitutions 2 ï ol 1 9

(*) G. Jorpan, Trailé des Substitutions, p. 257 ; Serrer, Algèbre supérieure, t. II, p. 639.

ci ; : É ; Le

GROUPE D'UNE ÉQUATION tt tel que toute fonction des racines dont les substitutions de ce groupe n'altèrent pas la valeur numérique dans le domaine soil rationnellement exprimable, et réciproquement. Ce groupe est appelé le groupe de l'équation.

46. Pour le déterminer pratiquement, nous considérerons la fonc-

tion de Galois WU = Wls + Us + + Unln, OÙ y, Us,..., Un SOnt laissés à dessein indéterminés, et l'équation résolvante V(z) = Hz — 0 — Us —... — untn]| = 0,

où le produit est étendu aux n! substitutions; si le facteur irréductible W(z) qui s’annule pour 23 — % est (z—4)(z—4)...(3—4r), c'est-à-dire

AC SUrAE UT UT EUR ,T. |, CEA ER LE N

c'est une fonction entière de z, wi, U:,..., u, à coeflicients rationnels dans le domaine ; je dis qu'elle appartient, par rapport aux indéterminées wi, U2,..., u,, à un groupe identique au groupe G de l'équation.

En effet, la fonction

de = UT, + Urla, Her a Unls,s

dérivée de 4, par la substitution S,, peut encore s'écrire, en l’ordonnant par rapport à %1, Æe,..., Znf

La Ua di + Ua + ce Us En

Pr

OÙ (Us Us... Us) Se déduisent de (1, u:,..., u,) par la substitution S, = S,'. On obtiendra donc tous les facteurs de W,(z) en laissant dans 3—11 les quantités æ1, %+, ..., x, fixes et effectuant Ste paraltietres ut, 4 UAarlessubStitutions 15, MMS 4e ST 1, c'est-à-dire toutes les substitutions du groupe G lui-même, prises dans un autre ordre ; on voit ainsi que la fonction entière VW, des indéterminées w1, Ur, ..., u, reste algébriquement invariable lorsqu'on effectue sur ces quantités les substitutions d’un groupe identique à celui de l'équation.

Ce sont du reste les seules jouissant de cette propriété ; supposons en effet que W, reste invariable pour une substitution S, effectuée sur 4, w, ..., u,; elle le sera alors lorsqu'on laissera ces

paramètres fixes et qu’on effectuera sur %:;, æ2, ..., æ, la substitulion inverse S;!; comme VW: est une fonction des racines rationnellement exprimable, S;t et par suite S,; appartiennent au groupe G de l'équation.

Pour avoir ce groupe, on aura donc à chercher, parmi les n! substitutions, celles qui laisseront algébriquement invariable la fonction Wi(z, w1, W:,..., u,) lorsqu'on les effectuera sur les indéterminées 4, Ua, . .., Une

En réalité, il reste encore une indétermination dans le problème ; on ne peut distinguer, parmi les facteurs irréductibles de W(z), celui qui admet comme facteur z—1\,, mais cette indétermination tient à la nature des choses, et est due à ce fait que l’on peut attribuer d’une manière arbitraire les indices 1,2,...,n aux n racines d’une équation. Supposons que la décomposition de W(:) donne

FG) = MP)... Pc}; je dis que les facteurs sont du même degré, et affectés du même exposant, égal à l'unité; en effet, les racines ,, ds, ..., W,1 de W(z) — 0 étant toutes distinctes, cette équation n’a pas de racines égales, et les exposants pu, pm, ..., pm doivent être égaux à l'unité. Soit en outre

DAS) = (3 OU Ut Un) = Un)

et £ une substitution n appartenant pas au groupe G, transformant CRUE W,(z) , à la substitution © effectuée sur les x correspond une substitution %Z1 effectuée sur les indéterminées « ; elle transforme VW(z) en un polynome VW. entier en z, rationnel dans le domaine donné, et irréductible, car, s’il ne l'était pas, Wi(z) qui s’en déduit par la substitution £ effectuée sur les quantités w serait réductible contrairement à l'hypothèse. Ce polynome W, a de plus un facteur commun z—%. avec W(z) qui est irréductible, et par conséquent lui est identique. En répétant ce raisonnement, on voit que les facteurs irréductibles sont du même degré, et se déduisent du premier par des substitutions X;, 33,..., 2, effectuées sur les x, ou les substitutions inverses sur les « ; on obtient ainsi, au moyen des r facteurs de la forme z—4, de W,(z), or facteurs distincts, et comme les n! valeurs de d, sont différentes, ona or=n!.

25 Vi ON UNI ACLEUTES A EU T EU NE

GROUPE D'UNE ÉQUATION 19 Les groupes déduits des facteurs de W(z) sont respectivement

et sont semblables ; ils sont identiques, au choix près des indices, d'après ce qu'on a vu au $ 7, et l’on peut prendre l’un quelconque d’entre eux comme groupe de l'équation.

Chacun ‘des facteurs irréductibles de W{z), égalé à zéro, fournit une équation résolvante dont chaque racine est une fonction de Galois à n ! valeurs ; on peut appeler l’une quelconque de ces équations une résolvante de Galois, et la connaissance d’une seule racine de l’une d'elles entraine celle des racines x, 4», ..., x, ellesmêmes, c'est-à-dire fournit la résolution de l'équation proposée.

Le procédé de calcul que nous avons indiqué à la fin du $ 20 est encore applicable ici. Soit W,(z) un facteur irréductible de W(z) ; cest un polynome entier par rapport à 3, W, U2, ..., u,, dont les coefficients font partie du domaine de rationalité ; il s’annule identiquement lorsqu'on remplace x par

M DE TR Ua + Ua T2 Het UT

par exemple, lorsqu'on tient compte des relations qui existent entre les racines x et les coeflicients de l’équation. Si l’on prend sa dérivée par rapport à l’une des indéterminées «, elle s’annulera pour z — %,, de sorte que les relations

0Y, Oo, | SFr DRE Van E seront des identités lorsqu'on remplacera z par 4, et donneront les valeurs des n racines 21, 2%, ..., æ, en fonction de Y.. On voit de cette façon que la résolution d'une équation de degré n dont le groupe est d'ordre r revient à la détermination d’une seule racine d’une équation résolvante de degré #.

CHR ED er

47. Le groupe de l'équation générale est le groupe symétrique ; en effet, s’il en était autrement, et si le groupe de l'équation

(3) f(@) = a + cat ca +. Le, = 0

était un groupe particulier G, on pourrait former une fonction e, des racines numériquement invariable pour les substitutions de G et variable pour toute autre, rationnellement exprimable, et satis-

faisant alors à une identité de la forme

DA(d, Lo... En) — (C1, Ca3+ +, En); or le second membre, lorsqu'on y remplace les coefficients par leurs valeurs en fonction des racines, est symétrique par rapport à Ti, Le, ..., €n Que l’on peut considérer comme variables indépendantes, tandis que le premier membre ne l’est pas; il y a donc impossibilité que le groupe G soit autre que le groupe symétrique.

Lorsque le groupe G d’une équation n’est pas le groupe symé- (rique, cette équation est spéciale ; il existe au moins une fonction des racines appartenant au groupe, non identiquement nulle algébriquement, et rationnellement exprimable, de sorte qu'il existe entre les racines et les éléments du domaine de rationalité au moins une relation de la forme

CD des see Li AL

On peut en former d’autres, en choisissant des fonctions numériquement invariables pour le groupe G ou pour un groupe contenant ce dernier, mais toutes ces relations sont caractérisées par le groupe de l’équation et sont contenues implicitement dans l'équation résolvante de Galois. Prenons en effet une telle équation résolvante, par exemple Wifz) — 0; le premier membre est, comme nous l'avons dit, une fonction de wi, w, ..., u, identiquement nulle lorsqu'on remplace 5 par

di = Wii + Ulo + + Un; si, après cette substitution, on l’ordonne suivant les puissances des indéterminées , les coefficients des différents termes seront nuls. Ces coefficients sont du reste des fonctions des racines invariables par les substitutions du groupe et, en les annulant, on obtient des relations entre les racines et les paramètres R, R', R”, ... du domaine de rationalité.

On peut dire que toutes les relations ainsi obtenues sont contenues dans l'équation unique

WA(Ui T4 + UaTo + + Unln) = 0.

Je vais montrer inversement que toute relation existant entre les racines est une conséquence de celles dont nous venons de parler; supposons en effet que l’on connaisse «a priori une relation entre les racines et les éléments du domaine de rationalité

CC AR LR PR PR EEE

le premier membre, qui est numériquement égal à zéro, et par conséquent rationnellement exprimable, appartient au groupe de l’équation, d’après le théorème fondamental ; de plus, si l’on remplace T1, T2, > En par leurs valeurs en fonction de 1, elle se transforme en une relation