FO DR RD RE

Cette équation, ayant une racine commune avec l'équation irréductible Wi(z) = 0, a son premier membre divisible par Wifi), et chaque facteur irréductible de F est identique à W,; par suite F est égal à une certaine puissance de W,, et la relation F(l) = 0 est une conséquence de la relation W,(4;) = 0, ainsi que nous l’avions annoncé.

On voit facilement que, dans le cas où le groupe de l'équation est le groupe symétrique, les coefficients des différents termes de la fonction Wuix + uoxo + ... + u,x,) ordonnée suivant les puissances des indéterminées « sont tous des fonctions symétriques des racines, et les relations obtenues dans ce cas sont les relations connues existant entre les coefficients de l’équation et ces fonctions symétriques.

On voit par suite que si l’on connaît les relations distinctes qui existent entre les racines et les éléments du domaine de rationalité, on peut trouver le groupe de l'équation en cherchant les substitutions pour lesquelles ces relations restent numériquement vérifiées.

Ainsi, par exemple, considérons kéquation bicarrée

x + pa +q = 0,

dont les racines sont 1, x: = —, 3 et 2% = —3%,; je dis que le groupe de cette équation est le groupe G; du $ 12 Le) rc MT) tits) Mimire)(tat:), tire) Tata),

(aititTs), (TiTaT2a4) |.

Par la première méthode, je forme la fonction de Galois

WU = Udi + Ut + Us + Ur = (Us — Ur)ti. + (Us — Us)Ts et l'équation résolvante de Galois ; le facteur relatif au groupe G:; Wi(z) = (3 — hi)(z — L)...(3 — ds)

est rationnellement exprimable, car c’est une fonction symétrique

VOGT, — RÉS. ALG. 6

S2 RÉSOLUTION ALGÉBRIQUÉ DES ÉQUATIONS de x? et x; il est du reste facile à calculer, et est égal à 2 20) hu ul) ere

on vérifie que les substitutions du groupe G, effecluées sur les , le laissent invariable. Par la seconde méthode, les relations entre les racines sont

Li +X2 = 0, T3 + dy, = 0,

et elles restent numériquement invariables pour les substitutions de G.

On peut remarquer à ce propos que toute relation entre les racines en entraîne une autre entre les coefficients €, €, ..., €, de l’équation mise sous la forme (2), car si une telle relation est par exemple (1, Ze, « .., än) — 0, et si l'on effectue le produit des valeurs de © pour les substitutions qui changent sa forme algébrique, on a une fonction symétrique exprimable au moyen des coefficients et égale à zéro. Réciproquement , toute relation F(ci, C2, ..., Cn) = 0 est une relation entre les racines en rempla- CANUIÉS COBHICIENLS DATI TE CRDP MID METRE RC PT CCE relation peut se décomposer en plusieurs autres en général.

Par exemple dans le cas précédent, les coefficients satisfont aux conditions € —0, c;3 —0, qui donnent 2 + x = —(x3+ x) et mtit;+m) + dti ti+ ds) = 0, d'où (ti+d2)(21%2— ar) = 0; l'hypothèse x+x — 0 donne x;3+x, = 0; la seconde, Mile = Cle, jointe à + = — (x; +), indique que les deux premières racines sont égales et de signes contraires aux deux autres, c'est-à-dire que m+xs = 0, 2%<+2, —=0; on obtient toujours le même groupe pour l'équation, au choix près des indices.

48. Nous montrerons plus loin le parti que Galois a tiré de la notion de groupe d’une équation spéciale pour l'étude des équations résolubles ; nous voulons pour le moment indiquer la propriété fondamentale suivante :

Gonsidérons unetéqualion (7, tR R REF E DE 0 irréduictiDle dans le domaine (R, R’, R”, ...) et ayant un groupe G. Je dis que ce groupe jouit de la propriété qu'il existe au moins une substitution remplaçant un élément quelconque x, par un autre xx arbi-

trairement choisi; on exprime ce fait en disant que le groupe est transitif (*).

Supposons, en effet, qu'il ne soit pas transitif; 1l existera alors au moins un groupe d'éléments ,2:,...,%, ennombre <n, tel que toutes les substitutions de G les laissent invariables, ou les permutent entre eux, mais non avec les autres ; s’il en est ainsi, les fonctions symétriques de ces « éléments appartiennent au groupe G etle produit x) = (x—x;{x—x:)...(x—x,) est rationnellement exprimable, par suite f n’est pas irréductible, contrairement à l'hypothèse.

Réciproquement, toute équation dont le groupe est transitif est irréductible ; supposons qu'elle ne le soit pas, et que

soit un facteur rationnel de f; aucune substitution du groupe ne pourra permuter l’un des éléments (x1,22,..., æ,) avec un des autres jeliquer Tr" ettle groupe né Sera pas transitif; Si, en effet, 2 par exemple est remplacé par #,,, pour une substitution, e(x) ne reste pas invariable pour toutes les substitutions de G et n’est pas rationnellement exprimable. On peut donc énoncer le résultat suivant :

THÉoRÈME. — Toute équation irréductible a son groupe transiif, et réciproquement.

Ainsi par exemple considérons une équation de degré n telle qu'entre ses racines existe l'unique relation az —0; le groupe de cette équation est d'ordre 2(n—2)! et se compose des substitutions 1, (xx) combinées avec celles qui portent sur La Lise En il n’est pas transitif et l’équation est réductible. On pourra calculer x,x au moyen de la formule de Lagrange en fonction de x +%, Car ces deux fonctions ont le même groupe algébrique, et leurs valeurs algébriquement distinctes sont également distinctes en valeur numérique, puisqu'il n'existe aucune autre relation particulière entre les racines que celle qui était donnée ; on formera ainsi en fonction rationnelle des quantités données les coefli-

cients de l'équation LÙ — (Xi + LE + Mia = 0,

(*) L'étude des groupes transitifs à fait depuis Caucuy l'objet de nombreuses recherches que l'on trouve résumées dans le traité de M. Jorpan.

ayant pour racines 2, et æ, et on aura de cette façon décomposé l'équation en deux autres de degrés 2 et n—2.

49. Nous démontrerons de la même manière la propriété suivante des équations résolvantes relatives à l'équation générale. Étant donnée l'équation générale de degré n,

f(x) = Lot RUE à a 74 HD D Ads Pi ME 0,

toute fonction entière ou rationnelle des racines appartenant à un groupe d'ordre 7 a pour toutes les substitutions p = . valeurs algébriquement et numériquement distinctes, racines d'une équation de degré o à coeflicients fonctions symétriques des racines, par suite fonctions rationnelles des coefficients €, Co, ..., Cn3 Je vais montrer que cette équation de degré o est irréductible dans le domaine de rationalité (ci, C2, ..…., Cn).

De même si une fonction +, appartient à un groupe G d'ordre r, sous-groupe d'un groupe G' d'ordre mr auquel appartientune fonction d4, les m valeurs eo, 0, ...,v, de +, pour les substitutions de G' sont racines d’une équation de degré m à coefficients rationnels par rapport à ci, C2,..., Cn, et Ÿ; je dis que cette équation est irréductible dans le domaine (ec, €, ..., Cn, Wu).

Je démontrerai seulement la deuxième de ces propositions, d’où découle la première ; on a vu au $ 24 que les substitutions du groupe G’ se partagent en ” lignes de la forme

“' a | Con on A EL

celles de la ligne GE, transformant +, en +,. Supposons que l’équation de degré ’%» ayant pour racines , %,..., vw, soit réductible et que le premier membre admette un facteur (z— 91)(5 — 92). (7 — De)

à coefficients rationnels en ci, ©:, ….,c, et 4; cefacteur ne changera pas pour les substitutions du groupe G', quelle que soit la valeur attribuée à z ; or la substitution X,,, de ce groupe transforme au moins en v,,1 et ne peut laisser invariable, quel que soit z, le facteur précédent, puisque les 7» valeurs de *«, sont distinctes; il y a donc contradiction, et l'équation est irréductible, comme nous voulions le démontrer.