L’équation générale du deuxième degré, D? + Cr + Cs
a un groupe d'ordre deux, G—f[1,{(xx)], et le groupe alterné se réduit à la seule substitution unité; la fonction de Galois W% + W®% et les racines elles-mêmes appartiennent au groupe alterné, et s'expriment rationnellement au moyen d’une fonction alternée quelconque.
La fonction x, — x, est une telle fonction dont le carré est symétrique, et n'est autre que le discriminant ; on a ainsi :
Li —= Lo — VA —= Ve? — 40, Li + Le = — Ci,
Dr = — Ci + Ve? — 400, Drs = — ci — Ye? — Ac
51. L'équation générale du troisième degré, L° + CL? + CT + C3 = 0, a un groupe symétrique d'ordre six, de sorte que lafonction de Galois est racine d’une équation du 6° degré, mais on peut la déterminer au moyen d'autres résolvantes. On aura d'abord une fonction alternée en résolvant une équation du second degré ; en particulier la fonction (æ: ee La)(Lo fes t3)(s re Ti)
a deux valeurs égales et de signes contraires, et est égale à la racine
S0 RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS carrée du discriminant ; soit (ti— dd v3)(rs— 2) = VA = —(4c5+2704)+ TBcicocs+cic?— Acc;
cette fonction alternée ; toute autre fonction à deux valeurs s’exprime rationnellement au moyen de la précédente, qui appartient au groupe alterné
[L, (ait2s), (datato)].
. La fonction de Galois widi + Us + ut a trois valeurs pour les substitutions de ce groupe, et dépend d’une équation du troisième degré dont les coefficients sont des fonctions à deux valeurs ; cette équation sera une équation binome si l’on prend en particulier la fonction (1) = Mi + WT + W°T3,
où w est une racine cubique imaginaire de l'unité ; comme on l’a vu au $ 25, on a, en remplaçant les fonctions symétriques fi, fo, fa DATES TC CROIRE
s 9 27 RUE (2) Bee n (ok) — 1 — 3 Si l’on prend pour w la valeur nétam \ + et qu'on adjoigne
si
au domaine de rationalilé w ou, ce qui revient au même, yÿ— 3, et de plus /4A, ona
[S,3)= Sa),
Lo | —
à À Herve RUE 5 ÉCHELLE CEST EET NE
S, étant une fonction symétrique.
Il suflit d'avoir une seule racine de cette équation, que nous représenterons par
u = VIS 81.
our avoir les autres et les racines de l’équation: nous avons vu en P ;
effet au $ 20 que l’on a en fonction de %, (E = Cid —- ne JC
4 La = ————————————— (4) |
- OU? — wc + C2 — 302 | 2 — WU + C2 — 309 LR LR À HN mu À
Quel que soit le signe que l'on prenne devant VA et la racine de l'équation binome donnant %, que l’on choisisse, on obtient le
même résultat pour les trois racines, à l'ordre près. En effet, changer le signe de VA revient à effectuer dans la fonction alternée (ds — %2)(d2 — Lt: — +) une transposition telle que (x1%) ; changer la racine 4, en w4, ou w°4, revient à effectuer sur la fonction Y, une des substitutions du groupe alterné ; le résultat est donc le même que si l’on effectuait sur la suite des trois racines 21, 2%, %3 une substitution quelconque, ce qui revient à changer simplement la notation de leurs indices.
Une autre méthode employée pour trouver les trois racines consiste à calculer une racine de l’équation (2) et une de l'équation analogue obtenue en changeant le signe de VA, c'est-à-dire en effectuant la lransposition T = (x,#:); soient
AUS ES do = + UE + 0 X3 = V= [Su Fr 3V— 34}
3 1 LE LT OT Eur — Ve ee, + 3ÿ— 3A|
ces deux racines ; en y joignant la relation
= Li + Lo + 3, on
a 3 AA MTS 3 1 RCENT 37 — rte (Si = 34 53a| RUE LS: + 31 — 34,
hitae run 3
ŒL Ca” 3T2 = — Ci + o\/ D LS ==> 3V— 34] = / [Si + 3ÿ— 34 |;
