P ; NE RER ARE ES AEEAIE

3 D on à ainsi à résoudre une équation du sixième degré pour déterminer y; Si y, est une racine, et z, la valeur correspondante de 2, les six racines Sont Yi, wY1, WY1, 1, WZ1, W°z,, et les racines de l’équation donnée sont

LE rot mu TT us da 2 , Lo — — + V1 = 071, Cire, 25, :

L'a = — at i 1/1 —+- O 41,

on tire de là JV = Li + O2 + W°T3,

J2! = Ti —- W T9 —- WT 3, de sorte que 37. et 37, ne sont autres que les fonctions 4 et 4 qui nous ont servi dans la méthode de Lagrange, et les deux procédés sont identiques.

La discussion de l'équation du troisième degré est assez connue pour que nous ne la fassions pas ici.

53. Les équations spéciales irréductibles du troisième degré sont caractérisées par un groupe particulier ; le seul groupe transitif au-

ÉQUATIONS DU QUATRIÈME DEGRÉ | 89 tre que le groupe symétrique est le groupe alterné [, (aidots), (aitut2)|, qui est en même temps le groupe des fonctions cycliques, puisqu'il est composé de la substitution circulaire S = (xim2,) et de ses puissances (K 26); les seules équations spéciales du troisième degré sont donc celles pour lesquelles une fonction à deux valeurs fait partie du domaine de rationalité ; comme c’est aussi une fonction cyclique, l'équation devient, comme nous le verrons plus tard, une équation abélienne, et sa résolution exige seulement l’extraction d'une racine cubique et la connaissance des racines cubiques de l’unité. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation du troisième degré jouisse de cette propriété est que le discriminant soit Carré parfait; en supposant l'équation mise sous la forme 2 + px + q = 0, ilest facile de former toutes les équations abéliennes à coefficients entiers ou fractionnaires; si l’on pose

A = — (Ap° re où 274?) —t q = 1p, F — Hp, On à 271? + pu? 27} + pu? 97X2 + pu?

D= —————; Q = —À1——, P= — nu — ‘ 4 4 À

il suffit de donner à À et & toutes les valeurs rationnelles possibles pour avoir les équations répondant à la question.

(4) fx) = 2 + caf + co? + x + 0, = 0, a pour groupe symétrique G un groupe formé de 24 substitutions jouissant de propriétés particulières que nous avons déjà étudiées. Les principaux sous-groupes sont :

1° Le groupe alterné G’ d'ordre 12, dont nous avons déjà parlé au S8 et formé des substitutions

1F (tit2)(dsts), (tits), (aixs)(dots), (tit), (X1X3%2), (TidsT4), (tiTI3), (TT), AA (T3), (ToX,T3),

2° Les groupes G, G, G: d'ordre 8, auxquels appartiennent les trois fonctions conjuguées

É rn E Pe = Midas Tets, O3 = LT, + Lots (S 15),

Gi = [, (aa), (ame), (aim) (aim), (tits) dors), (a12:)(dots), (LiTa%2T, : (aititits)],

G = ft, (ais), (tot), (aits)(tati), (mita(diti), (tit:)(d2ts), | (T1T2L3T4), (t1T%3%2) |,

Gs = [1, (aix), (rots), (aim) (dots), (aid3)(m2@s), (tite) dax), (tata) (attire)

ce sont des sous-groupes du groupe symétrique et non du groupe

alterné.

3° Le groupe d'ordre 4,

H = (1, (ai)(as,), (mms)(a2ms), (ait) (der), auquel appartiennent la fonction = Lila + Lil — Vis — Lots, = (Xi — LL — 3) = Di — 22 ($ 21) et aussi la fonction 4 = Down +o os, = (Tilt) + O(Mi Ts + Lol) + DIT, +LiT3),

où «w est une racine cubique de l'unité ($ 25); le groupe H estun sous-groupe invariant du groupe symétrique et des groupes (Gr, Gi, G:, G:, el c'est aussi le groupe commun avec trois groupes Gi, Go, (EE \ : :

4 Les groupes 41, 42, 93 d'ordre 4 auxquels appartiennent respectivement les fonctions

LA Li le — Lay, Ya Li Us Mars, Ya—Ti tds Li Xs (SO), ji = (1, (tit), (csmi), (aitr)(dsti)], Ja = (M, (ait), Go), (eirs)(eams)], gs = (1, (ai), (as), (aime )(æets)] ;

g, est un sous-groupe invariant de G;, de même g, de G et gs de G3.

5° Les groupes cycliques d'ordre 4 (K 26), CL rm iv rie tu RME RON MEET en CG = (1, (rit), (mit )(rets), (aitsr,t) | ; au premier appartient la fonction cyclique Wii = (di + ds + W22 + x)",

où w est une racine primitive de w*—1— 0, c'est-à-dire +i

OU —1; par suite à ces trois groupes appartiennent respectivement les fonctions cycliques Wy = [(di — do) + Us — 2)]", wi = [fai — 22) — (x, — 2,1f", Wa = [(di — 3) + Ua: — x)", Wh = [(r, —%3) — Ur: - m)}t, Wa = [(as — 2) + ds — d3)f, w = [(di — 23) — ta — 23)";

C,, G et CG; sont des sous-croupes invariants des groupes Gi, G, G3. 6° Les groupes d'ordre 2 ($ 8),

Cr OR EM (Er. at) Re, (aim) (ar),

formés des carrés des substitutions circulaires précédentes, et aux-

quels appartiennent les fonctions

aies) ii) f, [ais ia), [ai—as) (ae — 23); ce sont des sous-groupes invariants de H, ainsi que de CG, G, CG EL 91, Qa; 93.

Il existe d’autres groupes d'ordre 2, nu = [1, (aia)), = [1 (cs2)], = [I (m2), auxquels appartiennent des fonctions telles que

Us (x De T2) + U3l3 + U,X,,

et qui sont respectivement des sous-groupes invariants de 41, 2 et g3.

Nous ne considérerons pas les groupes d'ordre 6 auxquels appartiennent respectivement %1, 4, æ3 et æ.

On peut résumer ce qui précède dans le tableau suivant .

Tr DA DL G

1? DL G' — $ O0 Gi G G:

et 7/1 ER 20 g; 2 VE \@7 C: C3 H Mes ni M2 ETRERET K, K, K,;

55. On en déduit différentes méthodes de résolution : 1° Celle de Lagrange consiste, en partant des fonctions symétri-

ques, appartenant au groupe G, à calculer la valeur d’une fonction appartenant à l'un des trois groupes (, G, G3, par exemple la fonction eo = 23% +32. Il faut pour cela calculer l’une des racines de l'équation du troisième degré à laquelle satisfont D1, Lo, ©3, et qui est (S 15)

(2) Ds) ET die den = 0) où h=— C2, d ti MC, d; = — (CÈ + ACC, — CC

Lorsque l’on connaît »,, on peut calculer les fonctions appartenant au groupe 9,, qui est un sous-groupe invariant de G:, par la résolution d’une équation du second degré ; en particulier les quatre fonctions Zi, Air, La+d et xx, sont dans ce cas; elles appartiennent au groupe 9, et s'expriment rationnellement en fonction de l’une d'elles.

Si l’on considère par exemple la fonction 4 = 2%, elle a, pour les substitutions du groupe G,;, les deux valeurs {4 et { = æ2œ, qui sont racines de l'équation

EE — mt + c = 0; lorsqu'on a déterminé une racine de cette équation, et qu'on la prend pour valeur de 4 = 21%, on peut exprimer les quatre

fonctions dont nous venons de parler, car on a déjà, en désignant par { l’autre racine,

L1L2 = U, Laly = l2 = D — , puis Ui(æs + 14) + (ai +) = — C3, Dee de ti lo IC), d'où — C3 + Cils — C3 + Cite Li + Lo — Ù PE L — li li SES la

Il ne reste plus qu'à résoudre deux équations du second degré ayant pour racines l’une x, et +, l’autre x, etx,, connaissant respectivement la somme et le produit de ces quantités ; il suffit naturellement de calculer l’une des racines de chacune de ces équations, puisqu'on connaît déjà + et x;+ax,. On a ainsi les quatre racines de l'équation (1) en calculant une racine d'une équation du troisième degré (2) qui est la résolvante de Lagrange, et une racine de trois équations du second degré. On s'assure immédiatement

qu'un changement dans le choix de la racine que l’on calcule pour chacune des équations résolvantes successives revient à une permutation des indices des quatre racines 1, %2, 3, æ.

56. 2° Une modification apportée à la méthode de Lagrange consiste à prendre comme fonction du groupe g, au moyen de laquelle on veut calculer les autres

Vi ice di ds de pour les substitutions de G, elle a deux valeurs égales et de signes contraires, et l’on a (S 21)

(3) Pi — ( En AC Pie ko.

On peut donc calculer +, id, %3+x,, xs, en fonction de y, mais il est préférable d'opérer de la manière suivante :

La fonction y, a six valeurs deux à deux égales et de signes contraires, et est racine d’une équation du sixième degré à coeflicients symétriques ; on l’obtient soit directement, soit par l'élimination de v, entre (2) et (3), ce qui donne, enposant y; = d,,

(4) PO)= PH (Sc —305)0 + (8ci — 16c$c2+ 16cics +160 —64c,)0

SET: (ci RrT Acc = SC)? = Soient M, 0, 9, les trois racines de cette équation ; les équations D'ÉNn U Pon me RE om LÀ Dom D — vb, 42 = + ds Te MORTE V8,

Y3 = Dir Lo —— L3 = V6,

Did DRAP == C; donnent 4 L ar + Vi + Vs + V0; 1 = n 1 NL Lo = ———————--—————— }; x 4 D e, A2 Æ ) — © — V8, + V0; — V0, Lg = —— ——— ; À — ci — V6 — V6: + Vi, Nine n 5

mais il faut remarquer que, dès que l’on a choisi celle des deux va-

leurs de ÿ/0, que l’on prend pour 7, et celle des deux valeurs de ÿ/% que l’on prend pour Y,, 7, se trouve par cela même déterminé, et on ne peut choisir qu'une seule valeur de ÿ6, ; la formule donnant x; ne présente ainsi que quatre déterminations qui sont les valeurs des quatre racines.

Cela tient à ce que le produit 7:72:7, est symétrique, et que l'on a

(6) Yaxaks = Sri — Edit, + Emitits — — (0c$ — Acic2 + BC).

On a donc, au fond, à calculer deux racines d'une équation du troisième degré, et à prendre deux racines carrées. Remarquons que 0,, 0, 0, appartiennent respectivement aux groupes G, G&, G; et que la connaissance des trois racines de l’équation (4) entraine celle des trois racines de l'équation (2), et réciproquement.

57. 39 La recherche d’une fonction cyclique, appartenant à l’un des groupes C;, G, C:, dépend d’une équation du sixième degré, mais comme ces groupes sont respectivement des sous-groupes invariants de Gi, G, G3, on aura une fonction du groupe C en extrayant la racine carrée d’une fonction du groupe G;, et de même des autres ; ainsi les fonctions cycliques w,, wi sont telles que w+w, et (w,—w;) appartiennent au groupe G, ets’expriment rationnellement en fonction de e:.

On a en effet f 7 7

WÙi + w! — Sh KL? h == G(x: EE 7 L2)(L3 due IDE Pie (T3 GE due

et, d'après les équations (3) et (4), 0.6; s'exprime rationnellement au moyen de 0, ou de e, par la formule

00,03 — br — C2 + 49:)020: De (ci — ÀciC + 8c:) ; de plus | Lan — 2) + us — me — 2) — (es —2)] = de sorte que l'on a WU = (C? — 22 — Lo)* et w,, ainsi que w;, sont racines de l'équation

(7) 0? —[40,0, —- Qc? — 2c, — 261)° Ju Fi le le — 20: — 204) = 0.

ÉQUATIONS DU QUATRIÈME DEGRÉ 95 Ayant ainsi w, par exemple, la fonction (ai Se La) = (C3 Dr 5 7) — uw est une fonction de Galois au moyen de laquelle s'expriment les autres, ainsi que les racines elles-mêmes ; le calcul de x,, 2, xs, æ,

en fonction de ÿ w, est compliqué ; on peut le remplacer par le suivant, dont nous retrouverons la généralisation dans la théorie des équations abéliennes :

Dans la fonction fun = + im tix, remplaçons à par et 2; nous obtenons les nouvelles fonctions D D la do Li, ao = Di — iT3 + da + id; les produits (di RIRE 2,)(& LA ire UD CF — À, (da — 1d3 — La + 0 ds + ds — 2 — it) = B

restent invariables pour le groupe C, et s'expriment rationnellement au moyen de w, ; leurs valeurs sont js Leu — w

OLuo, + (ec? — ca — 20}?

M ARTE ma en 2 A 14 A0 XeXs

214212 me Vu ww! (ef — 20: — 20, WU WU:

Elles sont bien rationnelles par rapport à w,, car l'équation (6) donne la valeur de Y:y»73, et nous avons reconnu précédemment , + que l’on à

(8) Vans Vas = c?— 2co — Do ; dès lors les équations Li + T3 — Lo — T0, = WU, Ti La x 2 — A(Vun)?, La — Ts — do + ir, = B(ÿ wi),

Li + + ls + TL, — — Ci donnent

(9) a ce Vu PA(Vw,) + B(Vur)* . 1 On

et des expressions analogues pour les autres racines ; elles sont de même forme que celles qu'a données Euler.

On a de cette façon à calculer une racine d'une équation du troisième degré, puis une racine d'une équation du second degré, et à extraire une racine quatrième.

58. 4° En partant des fonctions symétriques appartenant au groupe G, on peut calculer une fonction appartenant au groupe alterné Gr’ par l'extraction d'une racine carrée, puis une fonction appartenant au groupe H par l'extraction d’une racine cubique. Comme nous l'avons vu au $S 95, la fonction

21 = Di + WOS2 + W°03 — (Xi1T2 + L3T) ae (LT ax TaT) a DLL, + T3),

où w est une racine cubique imaginaire de l'unité, est racine d’une équation binome de degré 3 dont les coeflicients appartiennent au groupe alterné. Cette fonction zx, n'est autre que la fonction de Galois relative à la résolution de l'équation du troisième degré (9) ayant pour racines w, %, ©, lorsqu'on emploie la méthode de Lagrange ; On à, en adjJoignant les racines cubiques de l'unité ou V—3,

où di, d», d, sont les coefficients, et A le discriminant de l'équation (2); 4 est identique au discriminant de l’équation du 4° degré, comme nous l'avons déjà vu au S 15.

Ce discriminant,

A — Adi — 274? + 18d,d,d, + d?d? — Ad;d:, peut être mis sous la forme particulière —(4P$ +270?) si l’on applique à l'équation (2) la transformation > (A / 7 7 ES ET Zn

qui fait disparaitre le deuxième terme; on a alors

di \° did; 2dÿ\?

ARE) Eur: { mn) Has 2 1 à i (de &| ( 3

ou, en remplaçant di, d:, d; par leurs valeurs,

C 2 A=— À, Ce à) 2 (—cieecie+

CiC2C3 ACoC, =)

Les fonctions symétriques Ge P — Ca6g — Ace —

jouent un rôle particulier dans la théorie des invariants des formes binaires ; si l’on écrit l'équation (1) sous la forme

f(x) = ax + 4h + Gex? + Adx +e = 0,

on à (*) A Ho A = — (S— 277), où CL AR OMRLE S = ae — Abd + 3c?, Le cad Ge

La recherche de la fonction précédente z, appartenant au groupe H est équivalente à la détermination des trois fonctions ©, 2, Ps et aussi à celle des trois fonctions 0,, 0,, 6, employées dans la deuxième méthode ; on peut donc, après avoir calculé z,, déterminer Di, %2, %3 COMME nous avons déterminé les racines 2, 2, x: de l'équation du troisième degré au moyen de 4, par les formules (4) du $ 51, puis en déduire 6:, 6, 0, et enfin x, 2, æ:, æ, par les formules (5) du $ 56.

La méthode que nous venons d'indiquer n’est donc pas nouvelle: elle consiste simplement dans l’application de la méthode de Lagrange à la résolution de l'équation du troisième degré (2) (S 55); mais, en suivant le tableau des groupes de quatre variables, on voit qu’on peut, en partant de z,;, déterminer une fonction de l’un des groupes Ki, K,, K; par l'extraction d’une racine carrée ; en prenant

D = [(ai — 2) + Ua; — x.)}, D = [(ts — 24) + x — 2) on à les deux valeurs conjuguées, pour les substitutions du groupe H, d’une fonction appartenant au groupe K,; leurs fonctions symétriques sont déterminées par les formules

À kif —1) 32—d?+3d; (A) voi =Airi—d)(2s—2s) = Ho: 9) = Sn NON | CA A2) Vorvor — i(ai— 2) + (ar — a)] = ic? — 20: — Do) 2e | a M aa OU | SE On a ainsi l'équation du second degré dont v, et v! sont les racines.

(*) Sazmox, Lecons d’Algèbre supérieure, p. 270.

VOGT. — RÉS. ALG.

Connaissant v,, une extraction de racine carrée donne la fonction de Galois. 2, +æ3— x —ix, au moyen de laquelle on peut calculer les racines, ou bien encore, on peut poser

(ri — de) + rs — 2) — Voi ;

(Ti ge © Le) + (ty — La) — Voi , où les signes sont déterminés en fonction l'un de l’autre par la relation (12); de plus + —t, —x, — y, est une fonction du groupe 9. dont K, est un sous-groupe, et s'exprime rationnellement au moyen de v, ; on aura sa valeur en se reportant à la manière dont A—yiv;! a été déterminé dans le $ précédent; 0, et e; s'expriment au moyen de z,, et w, est égal à v?, de sorte que l’on obtient la valeur de y, en fonction de v, et de z,. En joignant aux for-

mules précédentes la relation x +%+a;+4—=—t, ona / AT = — Ci + Yi + Vos — ioi, (13) \ Ax> — — Ci + 41 — Vo + ivoi, | AT = — Ci — 43 — V0 + Voi, Ad, = — Gi — y1 + ii — voi.

Nous mentionnerons encore la manière d'arriver à la fonction de Galois ti — 2: +ix; — ir, par la suite des groupes G, Gi, 91, K;; la fonction v, est déterminée au moyen de 7, appartenant au groupe 9; par l'extraction d’une racine carrée ; en posant

V1 — Ua = 65 = il ET 10,18 V, — (Gr LD 1X3 ae Le, On à —D(c}—4ciC2+803)

(4) vu = Uri —as) — Uri) = 2943 = FER AN él

TE) one 9 \9 1 9) ,9 2 (15) Voivo: —= (x: —L3) + (tax) = D PR — 9 (3c?—8c2 —y}),

d'après les formules (6) et (3); on a ainsi v, en fonction de %:; on en déduit les racines x par la formule

(16) de, = — 0 + 4 + Var VO, et d’autres analogues qui se déduisent de (13) en remplaçant Yi Darty

Enfin, on peut calculer la fonction de Galois par la suite des groupes G, Gi, g:, y, en résolvant deux équations du second degré après avoir déterminé 71.

59. La méthode de Ferrari consiste à décomposer le premier membre de l'équation du quatrième degré en un produit de deux facteurs du second degré ; je vais montrer qu’elle revient à la méthode de Lagrange.

Supposons que l’on ait effectué une décomposition de f(x) sous la forme

(A) fe) = + + ed? + cor + = (2? + ax + Bj(a ax +). On peut remplacer le produit des deux trinomes par une différence de deux carrés,

ù 2! 3/\2 PU Be ie Ar (a+ e+ te) -( PA ah

comme aœ+a — €, le premier terme peut s’écrire, en posant

/ | ONE BH 8 — }, (a? + La) , et le polynome f(x) est égal à 2 C4 NE EC pi :

fe = (a+ gets) —( uen

Comme on a d’autre part identiquement

G : À: 7 — [ (+ —a)e te (a )e+ de — «) | Ù

il faut que À satisfasse à la condition que le dernier trinome soit carré parfait, et cette condition, qui est nécessaire, est aussi sufilisante, de sorte qu'à chaque décomposition de f(x) sous la forme (1) correspond une décomposition analogue sous la forme (2), où le second trinome est carré parfait, et réciproquement.

Or, a priori, on peut mettre le polynome f(x) de trois manières et trois seulement sous la forme (1), en désignant par 1, 2, #,, æ, les racines de l'équation ; ce sont |

ft) = [e? — (ai + dx + ait, ][e? — (2: + dix + ax], Le) = = (ri E mt Hits ]|e? — (22 + ar + ax], f(x) Ti + rÆ= (æ: me L,)a —+- IE —— (Lo —- La)æ —+- LL] :

il existe donc trois valeurs de À satisfaisant aux conditions imposées, correspondantes à ces trois manières; comme À—£6+f, et que 8 et 6’ sont les termes constants des deux trinomes dans les-

quels f(x) est décomposé, on voit que les trois valeurs de À sont égales à A — L19 —- LT y, h — Lil 3 Ste La y À — Li, are Los ;

ce sont les trois racines #,,%,,%, de l'équation résolvante de Lagrange ; on le vérifie du reste en formant l'équation à laquelle sa- LISTER

Q eu 1 ne Er Rest on — ‘

(3) D{)) — 10 —- BLEU ) e e) C 9 a) = 0 ; elle est identique à l'équation (2) ($55) ayant pour racines 1, 2, 03.

Lorsqu'on a déterminé une racine À», de cette équation, et qu'on lui attribue la valeur 2%, + x,x,, la décomposition effective en un produit de deux trinomes de f(x) qui, sous la forme (2), est une différence de deux carrés, donne précisément

ft) = [ae — (ui + r,)x + mi2]le? — (ds + dix + aux]; il en résulte que les coeflicients des deux trinomes obtenus, qui contiennent la racine carrée d’une fonction entière de À;, sont les valeurs des quatre quantités @+a, 2%, 2:+%, 23%. On est donc amené, par la méthode actuelle, à déterminer en fonction de À, les quatre fonctions précédentes des racines, puis à résoudre deux équations du second degré; c'est ce que l’on fait précisément

dans la méthode de Lagrange.

« et « sont égaux respectivement aux sommes de deux racines, les trois valeurs que prend cette quantité sont

Q} ci L4 a :

On peut ajouter que À+ D — ( estégal à ( | ; comme

} ND l 9 L 2

4 (æ1 La — L3— Xi), Vi (di + rs — Lo — die TE (æi ne 7 MN T3) , . | . L i 1 1 r nan

c'est-à-dire so 0,, m3 0, + 0,. Nous vérifions de cette façon que

D — Ci — Ac: + 4e.

60. Nous allons appliquer l'étude de la nature des racines de l'équation résolvante (}) — 0 à la discussion de l'équation du quatrième degré ; nous nous placerons dans le cas où les coefficients de celle-ci sont réels, et nous chercherons la réalité et l’ordre de multiplicitétdes racines TT: IL: |

D'après la remarque déjà faite que le discriminant de (À) est le même que celui de f(x), la condition nécessaire et suflisante pour que les racines x soient distinctes est qu’il en soit de même de RER |

En étudiant les différents cas qui peuvent se présenter pour les racines æ, on arrive à des conclusions différentes relativement aux

, fi Re

racines À et au signe de À + . — @, de sorte queles réciproques

sont exactes, et qu’on peut énoncer les résultats suivants :

I. À, À, À distincts : les racines 2, 2, #3, #, le sont également.

! c? , 1° À, À, À réels et > er les quatre racines + sont (1

réelles.

; } C. ; 2° À,;, à, À réels; un au moins < & YU : les quatre racines sont imaginaires.

3° À réel, A+, À, imaginaires : deux racines sont réelles et deux imaginaires.

Il. = À, À, : l'équation a au moins une racine double x, =.

1 2 >>G——: trois racines réelles et distinctes, dont une double.

DOM) CC, — me : une racine double réelle et deux imaginaires. c? c?

« Î , , 3 } — Perret À 0 —— S : deux racines doubles réelles Li —= Lo, 3 —= X, c? C2 40 À — Er NE a. 2 #e : deux racines doubles imagi-

IT X==: l’équation a au moins une racine triple.

une racine triple et une simple.

une racine quadruple.

Il serait facile d'exprimer les conditions précédentes au moyen des coefficients de f(x); j'indiquerai simplement que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation ait une racine double est exprimée par l'égalité A = — (4P% +970?) = 0, où P et Q

ont les valeurs données au $ 58, et que les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'elle ait une racine triple sont exprimées par Pa tOM ER MO ES NOREENTID ICTAIDA RS 00!

On obtiendrait des résultats analogues en discutant l'équation résolvante ayant pour racines 0,, 0,, 0, ; on peut ajouter que parmi les trois décompositions de f(x) en trinomes du second degré, il en existe toujours au moins une à coeflicients réels.

61. Les équations spéciales du quatrième degré irréductibles sont caractérisées par un groupe particulier satisfaisant à la condition d'être transilif; les groupes transitifs à quatre variables sont les suivants, après le groupe symétrique : 1° le groupe alterné G'; 2° l’un des groupes d'ordre 8 : Gi, G@, G3; 30 le sous-groupe invariant H; 4° l'un des groupes cycliques : CG, G, C3.

Les équations ayant pour groupe G’ sont caractérisées par ce fait que le discriminant est carré parfait dans le domaine de rationalité ; alors les fonctions e, e:, ©, et x, s’obtiennent par l'extraction d’une racine cubique après adjonction de la racine de l’unité w.

Celles qui ont pour groupe G;, G ou G; sont telles que l'équation résolvante de Lagrange, ou bien l'équation (0) —Q aient une racine rationnelle; les méthodes que nous avons données s’appliquent à leur résolution et les racines s’obtiennent par l'extraction de trois racines carrées ; les équations bicarrées et les équations réciproques appartiennent à cette classe.

Celles qui ont pour groupe H sont telles que les trois racines de l'équation résolvante de Lagrange s'expriment rationnellement dans le domaine; les formules (11), (12) et (43) indiquent comment on les résout par deux extractions de racine carrée. Enfin celles qui ont pour groupe l’un des groupes cycliques GC, C&, G; sont des équations abéliennes ; les formules (9) montrent que leurs racines s'expriment au moyen d'une seule racine quatrième portant sur une quantité connue.

62. Nous venons de voir que l’on peut résoudre les équations du deuxième, du troisième et du quatrième degré en cherchant une fonction de Galois de la forme

di = Li + WT + re +... DR

où w est une racine primitive de x*—1 —0 que l’on adjoint,