RECHERCHES DE LAGRANGE

dans le courant du calcul, au domaine de rationalité. Lagrange, dans son mémoire dont nous avons déjà parlé, a cherché à généraliser cette méthode pour une équation de degré quelconque supposée générale ; il n’est pas parvenu à résoudre les équations de degré supérieur à quatre, et nous verrons que c'est impossible, mais ses recherches sont importantes pour la résolution de certaines équations spéciales, et nous allons les résumer,

Supposons d'abord que le degré n de l'équation soit premier ; d’après ce que nous avons vu au chapitre V, la fonction

EUR RE SO EE Em

est une fonction cyclique admettant (n—1)! valeurs pour toutes les substitutions ; mais, parmi ces valeurs, il en existe n—1l particulières appartenant au même groupe que w,; ce sont les fonctions #1, W:, …, W, obtenues en remplaçant dans la précédente w par chacune des racines de l'équation binome #—1 —0 autres que l'unité, racines que nous avons désignées par

ml

9, WP, 3 ces fonctions wi, W:, ..., Wn x, qui s'expriment rationnellement au moyen de l’une d’entre elles, sont elles-mêmes telles que la fonction cyclique 02 = où x estracine primitive de x*-!—1—0, appartienne au groupe mélacyclique que nous avons désigné par

CR EL DE E) MARF ITR mn

PT 0 + a + 20 + ee Hat nn, JT,

M=]z3 az+b] (mod. n) |

La fonction x est racine d'une équation de degré (n—2)! à coefficients symétriques ; si l'on connait une racine de cette équation, on peut calculer 2x1, æ,, .…., æ, par de simples extractions de racines, après adjonction des racines de l'unité w et «, comme nous allons le montrer.

On peut d’abord supposer les indices des racines x choisis de façon que la quantité connue soit la fonction x précédente ; en prenant une racine d'indice n—1, on a la fonction

a ES W, =E as —- Le -t- D) 2 TT

elle appartient au groupe de w,; c’est de plus, par rapport aux élé-

ments Wi, Wa, ..…., Wn 1, une fonction de Galois, et l’on peut calculer ces éléments d'une manière rationnelle au moyen de y et des fonctions symétriques des n—1 quantités w. Ces dernières fonctions symétriques, restant invariables par les substitutions du groupe M, s'expriment rationnellement en fonction de x et des coefficients de l'équation donnée ; par suite 4, W:, ..., Wn 1 peuvent être calculés rationnellement au moyen de net de +.

Ayant ainsi w,, une extraction de racine n° donne la fonction de Galois ad

= +0 +: +uwtir, = Yu,

au moyen de laquelle s'expriment les racines + elles-mêmes ; il est plus simple de prendre à la fois les n—1 fonctions cycliques is Un LE eNAUÉSISNANtTIDA ME de. No, IPS rACITIes de l’unité qui y entrent respectivement, on a

Li + de + Home, = Wu, Li + Do + ce Ho, dr, = Vu,

n Pat 0h als ENNER Hier, — NÉE

À pa 2 ee mr 2 eu 0 d’où l’on tire DEEE Nr nT; = — Ci —— Va: = VW, Sr HA ÉTTEE ls = — +0 Yu + vz V0» He + dy NAT

Ainsi donc, on résout l'équation de degré n, n étant premier : 1° en calculant une racine d’une équation de degré (n —9)!;: 2° enextrayant une racine d'indice n—1 et une autre d'indice n.

L'équation résolvante de degré (n—92)! ayant pour racines les fonctions métacycliques conjuguées est, pour n>5, d'un degré supérieur à n, et la difficulté du problème n'est que reculée ; cependant si une équation spéciale est telle qu’une fonction métacyclique soit connue et fasse partie du domaine de rationalité, cette équation est résoluble par radicaux ; nous démontrerons plus loin la réciproque de cette proposition fondamentale.

63. Considérons maintenant le cas où le degré de l'équation est un nombre composé ; soit n — pq, où p est un nombre premier ; nous allons ramener la résolution de l'équation donnée à