THÉORÈME D'ABEL

cients font partie d’un domaine de rationalité (R', R”, .….), est satisfaite par une expression algébrique explicite x, cette expression peut se mettre sous la forme d’une fonction entière d’une série de quantités

NAN ACRRENT

avec des coefficients rationnels dans le domaine (R', R', …). Les quanhités NV sont d’une part des fonctions entières des racines de l'équation donnée, avec des coefficients dépendant de racines de l'unité ; d'autre part elles sont délerminées par une série d'équations de la forme

Ne = HN NE ..) Ne R’, Le oo h

où les nombres p, sont premiers, et où les fonctions F sont entières par rapport aux quantités NV qu’elles renferment, avec des coefficients rationnels dans le domaine (R', R", …..).

71. Ce théorème permet d'appliquer les considérations que nous avons développées sur les fonctions des racines d'une équation, et nous allons démontrer le théorème fondamental suivant :

THkoRèME. — Les équations générales de degré supérieur à quatre ne sont pas résolubles alqébriquement.

Soit

AA OU 40 NE D he mice LL

l'équation générale de degré n ; le domaine de rationalité est constitué par les coefficients &, €, ., €, qui sont arbitraires et indépendants, etles racines 21,22, ..., x, ne sont assujetties à aucune autre condition qu'à celle d'avoir leurs fonctions symétriques connues.

La racine x, étant supposée exprimée au moyen des quantités Vi, V,,.…, V,, comme nous l'avons dit, la dernière irrationnelle satisfait à une équation de la forme

NUE ES Cr ET Ge elle est par suite une fonction entière des racines NE — o(Ti, TL, … 4)

dont la puissance p£ est symétrique.

L'identité DR NET EP (Ct,LC, A ICn) a lieu lorsqu'on remplace «, &, ...,c, par leurs expressions en

fonction des racines et lorsqu'on considère ensuite 241, æ:, ..., tn comme des variables indépendantes, puisque l'équation est géné-

rale ; le second membre est invariable pour toute substitution ; par suite le premier doit l'être aussi ; mais e change au moins pour une transposition, car sinon F, serait la puissance p° exacte d'une fonction symétrique, rationnelle par rapport à Ci, C, ..…., Cn, COntrairement à l'hypothèse.

Soit donc T—(xx;) une transposition changeant la valeur de #9; comme /# reste invariable, la nouvelle valeur o(x2, 21, .…., æ) ne diffère de la première que par une racine p,' de l'unité w,, de sorte que

ER C a M ORUI TEL IR LAURE PEU en répétant la transposition T sur les deux membres, ils resteront encore identiques puisque les x sont indépendants; mais le premier reprend la valeur primitive o(@, %, ..., %,); on a dès lors

ER nn Me Can d'où, en remplaçant o(%, 1, ...) par sa valeur,

PARTS SERRE LE 7 ee CAN CAR EN ER IL cette identité éxigeque l'on ait wo = 1 dou pp, — 2" NOTYOL que la première irrationnelle V, que l'on a à calculer est un radical carré ; c'est une fonction des racines ayant deux valeurs, et appartenant au groupe alterné ; elle est le produit d’une fonction symé-

trique par la racine carrée du discriminant.

Passons maintenant à l’irrationnelle suivante V,,, donnée par

D Ne = AE Ci, Cas. QXxee) Cn).

Le second membre doit renfermer V,, car sinon, d'après le même raisonnement V,, serait encore une fonction de 1, æ2, ..., Zn ayant deux valeurs, appartenant au groupe alterné, et s’exprimerait rationnellement au moyen de V,, €, €, ..., C», Contrairement à l'hypothèse.

Si l’on remplace V,, c,c,, .…, ©, par leurs valeurs en fonction des racines, F,, est une fonction appartenant au groupe allerné, et si l’on pose

NOR PER TS ec).

V,. est une fonction des variables x dont la puissance p,i° a deux valeurs et reste invariable pour les substitutions de ce groupe. Y varie au moins pour une substitution circulaire de trois éléments, car sinon, d'après le $ 5, elle appartiendrait au groupe alterné, et