THÉORÈME D’ABEL

V, s'exprimerait rationnellement au moyen de V,, ce qui est impossible.

Soit alors, par exemple, S = (a;2,:%;) une substitution qui transforme Ÿ en une fonction que je désigne par 4, ; elle changera Y, en une nouvelle valeur &, et 4, en 4, puisque S° = 1. Comme S fait partie du groupe alterné, elle laisse invariable la valeur de EF, etl'ona diy1 = dvi, d'où

Hi = w, 4, w,, désignant une racine p$, de l'unité ; alors en répétant deux fois la substitution S on a

We = 1h — w 44, Mu 0 1%, par suite wi 1 — 14, p,1—3, et la deuxième irrationnelle doit

être un radical cubique.

Mais si le nombre des variables est => 4, %Ÿ varie au moins pour une substitution circulaire de cinq éléments, d’après les propriétés du groupe alterné; si $S' est une telle substitution, un raisonnement identique au précédent montre que l’on doit avoir

We D D:

Il y a donc contradiction avec ce qui précède, et la résolution

algébrique est impossible pour n >5. On voit que pour n=3

ou 4 le premier radical est la racine carrée du discriminant, et le second un radical cubique, ce que nous avons constaté.

72. Ce théorème fondamental a été démontré pour la première fois par Abel ; la démonstration qui précède est celle qu'a donnée Wantzel. Nous aurions pu nous en dispenser et nous appuyer sur les résultats déjà obtenus, mais nous avons préféré donner une théorie complète en elle-même de la résolution algébrique des équations générales.

Nous allons indiquer une autre démonstration. Nous avons vu aux S 24 et 25 que les fonctions alternées de plusieurs variables indépendantes sont les seules dont les valeurs conjuguées soient racines d'une équation binome à coefficients symétriques, et qu'il n'existe, pour n > 4, aucune fonction ayant m valeurs pour les substitutions du groupe alterné, et dont les m valeurs conjuguées soient racines d’une équation binome.

Il pourrait se faire cependant qu'une des valeurs conjuguées, en particulier, soit racine d'une équation binome à laquelle ne satisfont pas les autres. Je vais montrer d’abord que, dans le cas de l’équation générale, il n’y a que les fonctions alternées des racines dont une puissance de degré premier soit symétrique.

Soit, en effet, (xs, de, .…., æ,) une fonction ayant o valeurs conjuguées, racines d’une équation (13) Po) — o H Ajot +... LA, — 0

à coeflicients symétriques, et satisfaisant à une équation binome telle que (14) Dh PiCi,1C2 ce lon):

Si les équations précédentes sont identiques, les 9 valeurs conjuguées sont les racines de l'équation binome (14) ; cela ne peut avoir léuiquesi”e = pet alorsmoimcstunEMonctiONnMaliCEnEREt elles ne le sontpas, p ne peut être inférieur à p, car l'équation (13) est irréductible ($ 49); les racines communes satisfont alors à une équation de degré inférieur à p, de la forme

(15) ER nn TE AE UT

à coefficients symétriques, mais c'est impossible, car d’après le théorème préliminaire de ce chapitre, e, serait symétrique. |

On démontrerait de lamême manière qu'il n'existe, pour n > 4, aucune fonction des racines de l'équation générale dont une puissance de degré premier soit une fonction alternée. Le théorème d’Abel en découle immédiatement.

73. Revenons aux équations spéciales résolubles algébriquement, pour compléter ce que nous avons dit au sujet de leurs racines.

Nous avons vu que les expressions

(10) XL} +1 —= Go ni GiwiV, SR + (EPRTO IS me) tas obtenues en remplaçant dans æ V; par wfV,, et où G, peut être supposé égal à l'unité, donnent des racines de l'équation f{x)— 0; nous pouvons généraliser, et démontrer le théorème suivant :

THÉORÈME. — Si dans l’expression de la racine satisfaisant à une équation résoluble

Ti = Go( V2, AA . ) = Gi(V2, Net .... )V: + RES —- GNT,

on remplace une ou plusieurs des irrationnelles par une autre des va-

RACINES D'ÉQUATIONS RÉSOLUBLES 121

leurs dont elles sont susceptibles, on a une nouvelle racine de l’équalion.

En effet, nous avons vu que dans le résultat de substitution ÉPREUVE RENE HEIN ONE 2e) VAE EEE HN chacun des coefficients H;, H;, …., H>,,1 doit être nul identiquement, et de même, si on les ordonne suivant les puissances de V:, les coefficients de ces puissances doivent être nuls, et ainsi de

suite.

Nous avons déjà vu que si l’on remplace V, par w#V;, on forme desracines de f(x) — 0.

Supposons maintenant que l’on remplace V, par Vi = w,V,, où w, est une racine de w/2—1—0; V, doit être alors remplacé par une racine Vi de l'équation

NE IN MN Ne e TU EE ne Fi(V2, Vs, ...) n'était pas la puissance p° exacte d'une fonction du domaine (V;, Vs, ...); par suite Fi(V;, Va, ...) n’est pas non plus la puissance exacte d’une fonction du nouveau domaine (V5, V:, ….) et la suite NRA SN AE NU Ne

jouit des mêmes propriétés que la suite primitive ; si l'on remplace dans x V: et V, par V, et V', la nouvelle valeur