RON PP) EP IGN EN NE ESS

est encore racine de l'équation, car f(x!) est identiquement nul. La démonstration s'étend de proche en proche à toutes les irra- } tionnelles.

74. Les racines que l’on obtient ainsi ne sont pas toujours distinctes, nous allons reconnaitre celles qui le sont, en supposant toujours l'équation donnée irréductible.

Considérons d’abord les racines x,, x,..., x, données par les équations (10) ; je vais montrer qu'elles sont distinctes. Le produit fafx) = (x ==m)(x — 22)... (x — 2, est symétrique par rapport à Vi, Vi, wiVi,.…, par suite s’exprime rationnellement dans le domaine (V:, V:,...); je dis quil

est irréductible dans ce domaine.

Supposons qu'il ne le soit pas, et qu'il se décompose dans les

facteurs irréductibles DIT, Vas Va, 5e ) cr (t — 2%) — 2%). 5)

DalE Ve ste D Dr ee

les premiers membres ne renfermant pas V,, cette irrationnelle doit disparaitre identiquement dans les seconds après tous produits effectués, dès lors ils ne changeront pas lorsqu'on remplacera V, par 1 Vi, …, c'est-à-dire x, par chacune des autres racines ; il faut donc que les facteurs irréductibles 1, 2, ... soient identiques, c'est-à-dire que fix) soit une puissance exacte; mais, comme ÿ1 est un nombre premier, fi(æ) ne peut être puissance exacte que d’un facteur du premier degré qui serait æ—2x,, et cela est impossible puisque æ—*+, n'est pas rationnel par rapport à V;:, Va, …

De ce que f(x) est irréductible, on déduit que 2, x,,..., x, sont distinctes, ce que nous voulions démontrer ; on peut ajouter que fil) est un facteur irréductible de f(x) dans le domaine (V;, V:,...).

Il arrive généralement que dans le produit (æ—x,)x—#,)… (æ — +,,) plusieurs irrationnelles disparaissent en même temps que V,; supposons que V;, V:,... disparaissent, jusqu’à V;1, etque V, soit l'irrationnelle de moindre indice qui subsiste; on a alors

PÉRRS TR CREME EN RE EP CE NN Pre et l’on peut supposer que le quotient d, ait été rendu entier par rapport aux éléments V qu'il contient.

L'identité précédente montre que les coefficients des puissances de x doivent être identiques aux deux membres ; ceux du second membre, ordonnés suivant les puissances V9, Vi, V?, ..., Vin 1, doivent avoir les coefficients de ces puissances séparément nuls, d'après un raisonnement déjà fait, et l'identité précédente subsistera quand on remplacera V, par wiV,, où win —1 = 0.

Formons maintenant le produit des », facteurs obtenus en remplaçant dans /, V; par toutes les valeurs dont cette irrationnelle est susceptible,

TD ARS Ve AL Ne) Le CP N PS je vais montrer qu'il est irréductible dans le domaine formé par (V1, Vny+, .…) ; Supposons en effet qu'il ne le soit pas, et que PU ANR)

RACINES D’ÉQUATIONS RÉSOLUBLES 124

soit un facteur irréductible dans ce domaine ; s’il a un diviseur commun avec un des facteurs précédents, par exemple avec fitt, GE V,, Vis4, …), il doit être divisible par ce polynome, car sinon celui-ci serait réductible dans le domaine (w#V,, V1, .…) et fil, Vs Vnya, .…) le serait aussi dans le domaine (V,, Vr4, .….), ce qui est impossible. Il faut donc que +, soit le produit d’un certain nombre de facteurs /f, ; soient alors

o1(æ, Von .. 1) — FACE V;, Nr cu nid. op Va, \ ere . . OO à va(æ, Na . ‘) — RAS HV; Vin . Hat oi V3, Vi, . .) .…..

les facteurs irréductibles de fx); V;, doit disparaitre dans les seconds membres quand on effectue les produits. La première identité ne changeant pas quand on remplace V, par wV,, on en conclut que les facteurs +,,v,, .… sont identiques et que f(x) est une puissance exacte d’un polynome dont le degré est de la forme Àp, ; comme p, est premier, cela ne peut avoir lieu que si f(x), dont le degré est égal à p:p,, est la puissance pf d'un facteur qui ne peut être que jifæ, Vs, Vis1, .…) ; mais cela est impossible, puisque fi COnUCTHESTrémentavVeCtn ec tDas TALIONNelNONN Ve = N.

Ainsi donc /,(x) est irréductible dans le domaine (V;:4, V,,,,...): par suite les pp, racines qu'on obtient en remplaçant dans Lis Laye. Ty Va par les expressions de la forme wÿV, sont distinctes, et f(x) est un facteur de f(x); on peut ajouter que s’il existe entre V, et V, des irratignnelles Ve, V:,..., V,1 ayant disparu dans f(x, V,,...), toutes les expressions qu’on obtiendrait en remplaçant V, par wËV,, V; par wfV:,..., Vi, par w;1V, ne peuvent donner de nouvelles racines de f(x), car elles satisfont forcément à l'équation f(x) = O0 et ne peuvent différer des pp} racines que nous venons de trouver.

En continuant de la même manière, supposons que dans (x), en même temps que V, disparaissent d'autres irrationnelles V, ,1, Va, Vs, et que V, soit la première qui subsiste ; formons le produit

es a, Vi NOER A OT PAPA ARRETE CANTINE EE on verra que c’est un facteur irréductible de f(x) dans le domaine (Vx1, Vrpos.…), et ainsi de suite ; après un nombre limité d’opérations on fera disparaitre toutes les irrationnelles et on obtiendra un

facteur irréductible de f(x) dans le domaine (R’, R”, ..); comme

{\æ) est supposé irréductible dans ce domaine, le dernier produit ne

différera pas de ce polynome lui-même ; le raisonnement précédent

montre de plus comment on obtient toutes les racines séparément. On peut donc énoncer le théorème suivant :

THÉORÈME. — Ælant donnée l'expression algébrique x, satisfaisant à une équation résoluble irréductible f(x, R', R”,...)=0 et formée au moyen des irrationnelles V;, V:,..…., V,, les p; quantités x, x,, ., 2, obtenues en substituant à V; dans x,, les p, déterminations dont elle est susceplible :°Ny, wiNi, em huiNi sontides racines distinctesde l'équation donnée ; si l’on forme le produit

JAN RON, CPAM PRES (10) et que V, soit l’irrationnelle de moindre indice subsistant dans fi, les PiPr quantités obtenues en remplaçant dans 1, æ, …, Zn, Va par les déterminations V3, 6, V,,.., whn1Vy sont Pipr racines distinctes de l'équation donnée ; de même si l’on forme le produit des facteurs linéaires correspondant à ces racines,

RCE NT eV D Ame V2 (Re DA RP

où k>h+1, onen déduit pipip, racines distinctes de f(x), et ainsi de suite jusqu'à ce que les irrationnelles disparaissent ; on obtient ainsi le polynome f(x, R', R’,...) et loutes les racines de l’équation ; le degré de f(x) est éqal à n = piprpx..……, et de plus les polynomes fi f2,... sont irréductibles dans le domaine des éléments qu'ils contiennent.

75. REMARQUE. — L'ordre dans lequel sont placées les irrationnelles V;, V:,... n’est pas toujours absolument fixé par la nature de l'expression algébrique ; supposons par exemple que V,, V,,1,..…, V;1 soient déterminés séparément au moyen des irrationnelles suivantes : Ve, V:,:1,..., V, par des équations de la forme

V’# == F(V:, Ve CAC Ve Re FU er x) (A FS À, ur 1, son B—1),

on peut ranger les éléments V,,..,V,, dans un ordre quelconque.

Si cela se présente pour un certain nombre d'irrationnelles à partir de V,, on peut placer l’une quelconque d’entre elles au premier rang dans la suite totale des éléments V ; nous dirons que

: ee ? , \ ; RACINES D ÉQUATIONS RÉSOLUBLES 125

chacune d'elles forme un radical extérieur dans l'expression algébrique de la racine.

Considérons le cas d’une équation irréductible de degré premier p; résoluble algébriquement ; d’après ce que nous avons dit relativement au degré de cette équation, la première irrationnelle V, doit être donnée par une équation de degré p1, et de plus le produit

fatx) = (x — æi)(x — 22)... .(x — Th)

doit être identique à /(x), de sorte que les irrationnelles suivantes Ne NES .…. VS doivent disparaître avec V, ; on a donc le corollaire suivant : COROLLAIRE. — Si une équalion irréductible de degré premier est

résoluble algébriquement, le radical extérieur NV, a un indice égal au degré de l’équation, et si l'expression d’une racine est

Li = Go+GVi +... + DO RAN le premier membre de l'équation est éqal au produit des p, facteurs

fe) = LT LE —(Go+ GoiVi + GoifVi + + Go Var),