CHAPITRE X

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES

716. Considérons une équation irréductible f(x) = 0 jouissant de la propriété qu’une racine zx1 soit une fonction rationnelle Ü(x;) d’une autre racine x, dans le domaine de rationalité ; nous allons montrer comment on peutsimplifier la résolution de cette équation, et, dans certains cas, l’effectuer au moyen de radicaux.

Soit

(1) f(x) = 0 l'équation donnée, supposée irréductible, (2) æ, — O(ai)

la relation qui existe entre deux racines ; l'équation (1) et la suivante

(3) fl(x)] = 0 ont en commun la racine +, ; d'après un théorème connu ($ 37), la dernière est satisfaite pour toutes les racines de la première, en particulier pour x1, de sorte que l’on a, en remplaçant x par x, dans l'équation (3),

FLæ)] = FINS )]S = 0.

Représentons pour abréger par 0x), 4%(x\,... les fonctions 0x), O[64x)), …… :

nous voyons, en répétant le raisonnement précédent, que les termes de la suite indéfinie

(4) Ti, O(xi), Ge PE sont des racines de l'équation (1); comme celle-ci n’a qu'un nombre

limité de racines, on parviendra nécessairement, dans la suite que nous venons de former, à une fonction égale à l’une des précédentes ; soient 0“(x,) et 6”+4{x) les deux premières qui soient égales ; on doit avoir Æ — 0, car sinon l'équation

0x) — x = 0 serait satisfaite par la racine 0“{x,) de l'équation (1), par suite par toutes les racines et en particulier pour *, ; on aurait par conséquent

0(xs) = 2: ;

et À ne serait pas le plus petit nombre jouissant de la propriété énoncée. Soit alors m la plus petite valeur pour laquelle on ait OR M ONIENRCONCIUEQUeMET Et) ar ri) Sont distincts, et que les termes suivants de la suite (4) reproduisent périodiquement les m précédents.

Si m est égal au degré de l’équation, les racines sont toutes déterminées au moyen de 2, ; sile degré n de f(x) est supérieur à m, et si l’on représente par x une racine distincte de celles dont nous venons de parler, l'équation (3) admet toutes les racines de f(x) = 0, en particulier x;, par suite 0(x) est encore racine et l’on obtient de cette façon une deuxième série de racines,

(à) Las O(x2), 0?(x), 10NQ) Gr},

distinctes les unes des autres, et reproduites périodiquement par les termes suivants : 0#(x,), … On doit avoir u—m, car lestéquations

9"(x) — x = 0, br) TA I0

sont satisfaites par toutes les racines de l'équation irréductible f(x), et en particulier, la première par x:, la seconde par x, ; chacun des nombres m”m et nu est alors au moins égal à l’autre, de sorte qu'ils sont égaux.

De plus, les termes de la suite (5) sont tous différents de ceux de la suite (4), car si l’on avait par exemple

où a et b sont <m, on en déduirait, en appliquant aux deux membres l'opération 0”?,

(are — Lo — Gran)

de sorte que +: serait compris dans la suite (4), contrairement à hypothèse.

Si les 2m racines obtenues ne forment pas la totalité des racines de l'équation donnée, on répétera le raisonnement sur une nouvelle racine x, etc.; on obtient de cette facon les résultats suivants :

TRÉORÈME. — Si une racine d’une équation irréductible f(x) = 0 est une fonction ralionnelle d’une autre, on peut ranger toutes les va-

cines de cetle équation en y séries de m chacune, comme l'indique le

tableau suivant :

Din DC MU ES D PRESENT

La, V2), 67(22), . .. 0"),

TL, Hp LE 10 0 eee te Lbgge | CAE

ON TOUTE AN PRE De Es

el le degré de l'équation est égal à my.

77. Nous allons, dans le cas où le nombre v des séries est supérieur à l'unité, ramener la résolution de l'équation donnée à celle de v équations de degré m ayant respectivement pour racines celles de chacune des séries précédentes.

Nous commencerons par former le groupe de l'équation (1); d'après ce que nous avons dit au $ 46, nous devons chercher un facteur irréductible de l'équation résolvante W(z) dont les racines sont les n! valeurs de la fonction de Galois, ou bien encore chercher les facteurs linéaires de cette équation résolvante qu'il faut associer pour constituer un diviseur W(z) de Wiz), à coefficients rationnels et irréductible.

Désignons par Si, S, ...,S, les substitutions circulaires

dont les cycles sont constitués par les m racines de chacune des séries ; ces cycles n'ayant aucun élément commun, ces substitutions sont permutables et engendrent un groupe d'ordre m».

Considérons maintenant les substitutions permutant entre elles les v séries de racines de toutes les manières possibles, tout en

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conservant l'ordre des éléments de chacune d'elles ; elles sont en même nombre que les substitutions du groupe symétrique des » LOC SA PR Ne binous les désienerons parti, Tr. Elles sont permutables aux substitutions circulaires précédentes, et le groupe G dérivé de Si, S, ..., T1, To, ... a son ordre égal à m°.v !; ainsi que nous le verrons plus loin (ch. x11), ce groupe est non-primitif; nous allons montrer que c’est celui de l'équation HICEE07

Prenons pour cela le facteur de l'équation résolvante de Galois

2h = 2 — ur + us) + Hum 1% + Un 20(%2) + +] et ceux qu'on en déduit en effectuant sur les n racines les substitutions du groupe précédent ; nous allons montrer que leur produit, qui est un polynome VWfz) de degré m'.v!, est rationnellement exprimable.

Si l’on prend d'abord les facteurs déduits de z—1%, en effectuant les substitutions 1, S;, S?, ..., S*1, leur produit p, est une fonction cyclique de æ,, 6{a), ..., 8% 1{(x,) et s'exprime rationnellement, en ce qui concerne ces racines, au moyen d'une fonction cyclique particulière C, appartenant numériquement au groupe dérivé de S, (S 43). Cette fonction cyclique est une fonction rationnelle de x, ; mais comme le changement de x, en 0(x,) a pour effet de remplacer en général 0%) par 0x) et 0%-1(x,) par 0"(x) = x, c'est-à-dire d'effectuer la substitution S;, C reste invariable lorsqu'on remplace x, par 6(x,) et par chacune des autres racines de la même série, et l’on a ü

Cfa) = Gfb(æ)] = + = CE an)].

Si l’on prend ensuite les valeurs de p, pour la substitution $; et ses puissances, leur produit p, est, par rapport aux racines æ, 0(x), .., 0-1(x) de la deuxième série, une fonction cyclique, et il s’exprime au moyen d'une fonction cyclique de ces racines ; on peut choisir une fonction C, déduite de C, en remplaçant x, par 2; elle sera telle que l’on ait

Gr) = GÜ0(a)] = ++ = C9 (2).

En continuant de cette façon jusqu'à S,, on obtient un produit p, de degré m', s'exprimant rationnellement au moyen de fonctions cycliques Cifæ;), CG:(æ2), ..., G(x,) ne différant l'une de l'autre que par la notation des variables.

L ( VOGT. — RES. ALG. 9

On effectue ensuite sur p, les substitutions Ti, T:, ...,T,; le produit des résultats, qui est W(z), est un polynome en z dont les coefficients sont symétriques par rapport à GC, G, ..., G,; 1l reste à voir qu'ils s'expriment rationnellement.

Considérons pour cela la somme des puissances semblables de ces fonctions