ICI AC EE OC

d'après ce que nous avons dit sur la fonction G;,ona

MO = Gas} + Ga )P + + + Gif (a) Pr,

et des égalités analogues relativement aux autres séries de racines ; on en conclut que mX, est égal à la somme des valeurs de la fonction rationnelle C(x,)* lorsqu'on remplace x, par chacune des n racines de f(x) — 0; c'est dès lors une fonction symétrique de ces racines, s'exprimant rationnellement au moyen des coefficients de l’équation.

Comme cela a lieu pour toute valeur de À, les sommes des puissances semblables, et par suite les fonctions symétriques de Ci, C2, ..., G, sont exprimables rationnellement, ce que nous voulions démontrer.

Aïnsi donc, la fonction W(:) est rationnelle ; comme on ne suppose d'autre part aucune relation entre les racines 2, 2%, ..., x, il n'existe aucun produit de moindre degré jouissant de cette propriété. Celui que nous venons de déterminer constitue le premier membre de l'équation résolvante de Galois et le groupe est formé des substitutions dont nous avons parlé.

Si l'on applique à une fonction cyclique des racines de la première série telle.que MG, 0(2), ..075t{x,) restant invarrable par la substitution $S, et ses puissances, les substitutions du groupe précédent, on voit qu’elle prend pour ces substitutions v valeurs conjuguées, qui sont précisément les fonctions dont nous avons

parlé CAC DS) 0 Te RG PAPER) (AMD Re ces v valeurs sont les racines d’une équation, (6) CH ACT HE: HA, = 0,

dont les coefficients s'expriment rationnellement au moyen de ceux de f(x); lorsqu'on connait l’une des racines, par exemple celle qui correspond à la première série, les fonctions symétriques des m

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES 131

racines de cette série restent invariables pour les substitutions qui n'altérent pas GC, et s'expriment rationnellement au moyen de cette fonction et des coefficients de f(x).

Ainsi donc, en déterminant toutes les racines GC, G,..., G, d’une équation (6) de degré v, on peut former » équations distinctes de degré m,

fa) = at + (Get + 2. E an(Gsi = 0 CPR REINE

telles que les coeflicients de l'équation f(x) — 0 soient des fonctions rationnelles de la racine C, et des coefficients de l’équation donnée f(x) = 0; les racines de l'équation de rang « sont

DET O(x), (rs), DONC au) Si l'on ne fait sur les racines de l'équation (4) aucune autre hypothèse que celle dont nous avons parlé, les racines de l'équation (6)

ne satisfont à aucune condition particulière, et la résolution de cette équation ne peut être simplifiée.

78. Nous supposons maintenant que l'on ait calculé une racine telle que C, de l'équation (6) et qu'on l’adjoigne au domaine de rationalité ; 1l nous reste à traiter ce problème : #ésoudre une équation flx) = 0, de degré m, dont les racines sont distinctes et représentées par

(7) ed er tn 0 étant une fonction rationnelle telle que 0"(x:) = x.

Considérons une fonction cyclique des racines, en particulier

Ti = [ri + wû(as) + w°0{2s) +... How i0m ia) = pr, où w est une racine primitive de l'équation zx”*—1 = 0; nous allons démontrer, sur la forme particulière de cette fonction, qu'elle est rationnellement exprimable ; en effet, si l'on change x, en (x), la fonction 4, entre parenthèse se change en

Gas) + 0x) + w208{m) +. + ot, = w 10, :

par suite T, conserve la même valeur ; il en est de même, en répétant le raisonnement, lorsqu'on remplace x, par une quelconque des racines ; si l’on pose alors pour un instant Ti = o(x), ona

Di= sm) = ea) = +. = EY Le(as) + e[0(2)] + +]:

c'est une fonction symétrique des racines, et elle s'exprime rationnellement au moyen des coefficients de l’équation, lorsqu'on adjoint au domaine de rationalité les racines m“ de l'unité.

En extrayant une racine d'indice m, on a

Un ie W0(T) ae 01) LL FE (D ME ET) — Ptpie

%, est une fonction de Galois au moyen de laquelle on peut exprimer les racines, mais il est préférable de les déterminer de la manière suivante :

Supposons que l’on remplace dans 4, la racine w par chacune des racines de l'équation x"—1—0, qui sont

(n) LUE

| uw? D HER ot — 1 ;

nous obtiendrons les fonctions

Va = di + (a) + wA(r,) +... + om ip if), Elles s'expriment toutes en fonction rationnelle de %,, car la fonction

WU = [as + (2) +... [as + wb(y,) + ... [ms se transforme, par le changement de x, en Ü(x), en

(one En ESS == PAR

et reste numériquement invariable ; d'après le raisonnement fait

précédemment, elle s'exprime rationnellement au moyen des coef-

ficients de l'équation ; si l’on représente par T, cette fonction, on a il TRE , x PORC sr Q d, = (YT:):, d'où la série d'équations :

Li + Ô(X) + w? 022) RE — HUE ai + 021) + GÉP(as) +... = se (4 He mil m—1 9{(m—1)n2 Ton Me \on—1 Fe (xs) + wÀ (1) + CE Nr: (1) , Li + O() + U(æ) ARE on

si on les ajoute, les coefficients des racines autres que x, sont nuls dans la somme des premiers membres, et l’on obtient la valeur de x,; si l’on multiplie de même les équations respectivement par w +, w%, ,.., on obtient la valeur de 0%{(x,), d’où les valeurs suivantes des racines :

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES 133

| 1 aol sn 1h | BL Ti (VTT) MERE — Tin | m T, l'i

L NL /T 9 Œ m/n \o (8) 0x) — | eu Hire HAT Re

qe MRC

| ns ne il) 1 Cie | | T

On voit que les équations qui nous occupent sont résolubles par radicaux lorsqu'on adjoint au domaine de rationalité les racines m‘ de l'unité, et qu'il suflit d'extraire la racine m° d’une quantité connue rationnellement.

79. Lorsque les coeflicients de f(x) et de 6(x) sont des quantités réelles, le calcul numérique de ’VT, peut être remplacé par le suivant :

La fonction

Ti fs + offers) + + + tm fr | est rationnellement exprimable au moyen des coeflicients de f(x), de ceux de 6(x) et de w; si on la met sous la forme p(cos 8+1 sin $), la présence de à tient à la racine w, et le changement de w en w°t a pour effet de changer ? en —:1; il transforme de plus T, en Th. de sorte que l'on a

D oc) unir, 22" cos Se sin Se); Tee"

D'autre part la fonction 4,4, est rationnellement exprimable au moyen desncoelicients "carsellesestoden tan forment va iour x—m—1A; de plus elle ne change pas de valeur quand on remplace w par sa valeur conjuguée w !, par conséquent elle est réelle; si l’on représente par eU cette quantité, où U est positif et O0 apré relation nl, me" évalilé

2 —— en[[mn $

il faut que =” soit égal à l’unité, puisque U est positif ; on conclut de là, en prenant la racine 2m° arithmétique des deux membres,

Ve == YU )

et la racine m° de T;, qui est celle de o(cos & + 1 sin &), a pour

valeur Æ aus 9 Or LONG DR NO (cos TT +: SIN ———— ).

Dans ce cas, la résolution de l’équation exige : 1° l'extraction de la racine carrée d’une quantité U que l’on peut calculer rationnellement; 2° la division en m parties égales d'un angle que l'on peut construire.

80. Considérons une équation f(x) = 0 irréductible, de degré premier, et telle qu’une racine x soit une fonction rationnelle d'une autre racine x, d’après ce que nous avons vu au début de ce chapitre, les racines doivent se partager en v séries d’un même nombre m d'éléments ; le produit vm ne peut être premier que si v—1, car m est au moins égal à deux; les racines forment alors une seule série de la forme

MU NME R Re en EE et l'équation est résoluble algébriquement. On peut donc énoncer le théorème suivant :

THÉORÈME. — Si une équation irréductible de degré premier possède la propriété qu'une racine soit une fonction rationnelle d'une autre, elle est résoluble algébriquement. |

81. Revenons à l'équation de degré m dont les racines sont données par les formules (8); elles conviennent à tous les cas, mais lorsque »” est un nombre composé, l'extraction des radicaux d'indice m se ramène, comme on le sait, à celle de radicaux successifs d'indices premiers; nous allons voir comment on peut, dans ce cas, simplifier la méthode précédente au point de vue du calcul numérique des racines.

Soit Mm—Mmam; remplaçons dans d w par une racine primitive w, de l'équation x”1—1—=0; nous aurons

di ti Qu(x,) + 0(2) Li PARAIT (AT et 67 + 0, [0(as) + OP (an) + 2. Je GOT 2, )]

Lu (Open (se -16 0 À ie Der Mare At FE) À ce que nous écrirons

ds = 40 + DIN 4 Lex RACE me CSS PET

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES 150

La fonction Liz = (40 + ox +. + DT Yom 1) reste invariable par le changement de x, en (x), car il a pour effet de permuter circulairement les éléments ONE LAN EEE TE par suite cette fonction s'exprime rationnellement, et l’on a, en extrayant une racine d'indice mi, (A FE av

Par un raisonnement identique à celui que nous avons fait, les fonctions 2, 43, ..., W, obtenues en remplaçant w, par les racines wf, w/, ..., ufr! sont telles que les expressions

IAE RTEEN v

soient des fonctions rationnelles des coeflicients de l'équation, et l'on en déduit que les fonctions yo, 1, 42, :+., Xm,1 SOnt données par la formule suivante, où « prend les valeurs 0, 1,2, ...,m, —1,

@ 22 [ae vreure RE Cm +]

Lorsqu'on a déterminé une de ces quantités, par exemple y, on peut déterminer rationnellement les fonctions symétriques des racines 21, Va), Of), ..., Oum»), car ces fonctions symétriques appartiennent au même groupe de substitutions que y; on peut alors calculer les coeflicients de l'équation à laquelle satisfont ces racines; mais si l’on pose @”1=0,, elles sont de la forme

se 0,(x), War), Ma OC (rs), et la méthode précédente est applicable à leur détermination.

Les autres séries de racines dont les sommes sont respectivement {as {23 «es {m1 SOnt déterminées de la même manière au moyen de chacune de ces quantités ; il en résulte que les m racines de f(x) = 0 sont exprimées par des radicaux d'indices m, et n, et par des racines de l'unité satisfaisant aux équations

LU AE 0; am — 1 = 0.

Remarquons qu'il suffit de connaître une seule des m racines de la suite (7) pour calculer toutes les autres, car si x, est une quelconque d’entre elles, les autres sont égales à 0(%!), 02(@1), .…., 0"-1{æ1), et sont des fonctions rationnelles de la première ; on en conclut que l'équation sera résolue dès que l’on aura déterminé une des quantités ; et une des racines qui en dépendent.

On a donc le résultat suivant :

THÉORÈME. — Si m = num, la résolution de l'équation f(x) = 0, de degré m, dont les racines sont celles de la suite (7), se ramène à celle de deux équations successives, de degrés ma et nr, auxquelles est applicable la méthode exposée précédemment; les coefficients de la première étant des quantités connues, et ceux de la seconde des fonctions rationnelles d’une racine de la précédente.

Si », est lui-même un nombre composé égal à mm, chaque équation de degré », dont les coefficients dépendent de l'une des quantités 7 peut elle-même être résolue au moyen de deux équations de degrés m, et nr, comme nous venons de l'indiquer ; en

continuant de cette façon, on obtient la conclusion suivante : THÉéoRÈME. — Pour résoudre une équation de degré M = MM... My

jouissant de la propriélé donnée, il suffit :

1° de calculer une racine primitive de chacune des équations ti — 1 = O0, SE EANR PTS t"p— 1 — 0;

20 d'extraire des racines successives d'indices my, Ma, ..., m, de quantités s'exprimant chacune rationnellement au moyen des radicaux qui la précèdent, des coefficients de l’équation, et des racines des équations binomes dont on vient de parler.

Les nombres," m, peuventhétre égaux OU InePauxs si donc ce sont les facteurs premiers du nombre m, on voit comment la résolution de l'équation de degré m se ramène à celles d'équations successives de degrés premiers. En particulier, si les nombres mi, M, ..., m, sont égaux à 2, les racines de l'unité sont égales à 1, et les radicaux ont leur indice égal à 2 ; par suite on a le corollaire suivant :

COROLLAIRE. — 7J'oule équation de degré 2? dont les racines sont représentées par a, 0), (a), 22e, 0%-(a)

est résoluble à l’aide de p racines carrées successives.

82. Pour donner un exemple d'une suite de racines analogue à la suite (7), cherchons si l’on peut prendre pour Ü(x;) une fraction

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES 197

rationnelle de la forme ax + b OX) = ——— ; ct + d où a, b, c, d sont réels; il faut d'abord que Ô — ad—be soit Z 0, car sinon Ü(x) serait constant; on peut alors, en multipliant a, b,c, d par un même nombre si c'est nécessaire, supposer à égal 4 1 Soicnt tel rh les racines de l'équation fr) =", qui peut s’écrire ax + b — rex + d) = x(a—cx) + b— dx = 0.

Supposons d'abord qu'elles soient distinctes, et formons l'expression

fr) = 2, ax Pb —zx(cx Ed) (a —cx)x + db — dx. 0x) — 2" ax+b—x'(cx+d) (a — cx")x + b — dx”

d'après l'équation à laquelle satisfont x’ et x”, elle s'écrit encore

où le facteur M peut être mis sous l’une des formes suivantes, en utilisant la remarque que Ô = +1,

(a— cr [a+d a+d\? | 0 2 F4 ll

Comme on obtient, en remplaçant æ par 0(x),

B(x) — x’ M Cote ue © — ei D PDT ES ET RE TEE TT on aura en général n Act 2 1 / J/ 6"(x) L Ac M” TL XL gr) — 2" x — x" DOTE DORMI autel IPSUIt que M "1 Ce qui

donne

nfe+d Tr f", [EVE

Si les racines x’ et x” sont imaginaires, il faut que à —<+1, car sinon le radical serait réel ; on doit de plus avoir

dd V( ne <) kr LT : — — À — COS ——+1 sin — ; 9 2 m m

il suflit de poser, pour satisfaire à cette condition, kr (10) a+ d—2cos —; mr k étant premier avec m si m est le premier nombre pour lequel 6"(x) — +. Siles-racines x’ et x” sont réelles, il faut, dans le cas

où 0—<+1, que

VS) rt

CénQUi donne 0 EE NOUS N CON LATE ENLOREE l'hypothèse ; dans le cas où Ô = —14, il faut que m soit pair et que a+d—0, ce qui donne M? —1; ce cas ne peut exister que si m—2, et le résultat est fourni par l'équation (10) lors- QU'ONVAA MEN?

NoOuSESuUpposons Maintenant TE NCCMIUNONIE CNRC TTRRET a+d—=Æ#+2, On vérifie que l'on a alors

| il “Te

Dé cn 71

de sorte que, en appelant N la valeur du second membre, remplaçant æ par Ür) et répétant cette opération, il vient

1 1 a 0x) — x À — % Pourque =, il fautique IN 10 l0rS On a TEE ce qui est impossible.

Il n’y a donc que les conditions