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qui soient nécessaires et suflisantes pour que la fonction 0{x) réponde à la question.

Comme application, considérons l'équation donnant tg —— con- , © nt

0 | L © NAaISSAnL NE ©, SINOUSIPDOSONS MIO MC — TO CELLE nm

équation est ht Rate DA Er)" AE TS

et est de degré m, à coefficients réels. Ses racines sont

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES 140

œ o T © 9x 27 m— À)r tg —, ee ; e(L+T), ss gs Sa Dre) m m m m m M m

et sont toutes des fonctions rationnelles de l’une d’entre elles; en désignant l’une de ces racines par x,, et posant

T x + {g — nt O(®) = ———,

léSautréssantiérales a pr) GR. 67 Cri), En écrivant la fonction rationnelle précédente sous la forme

T TC COS —+ Sin — mn nr

RE er CR PET T — L' SIN — —+ COS nt

on vérifie bien qu'elle satisfait aux conditions que nous avons trouvées précédemment. On conclut de là que l'équation dont dépend

m“ de l'unité et les quantités cos oies m m 83. Nous allons maintenant considérer les équations déjà étudiées par Abel et appelées par Kronecker et M. Jordan équations abéliennes. ÿ Une équation irréductible ou non est dite abélienne si toutes.ses racines sont des fonctions rationnelles de l’une d’entre elles x, et si %, = (ti), Le 0,(x1) étant deux racines quelconques exprimées au moyen de x,, les fonctions 6, et 0, jouissent de la propriété d’être échangeables, c'est-

à-dire sont telles que l’on ait D).

Les équations que nous avons étudiées, pour lesquelles les racines s'expriment toutes sous la forme (7) Ti O(x), pe) na Dar

sont des équations abéliennes; nous dirons qu'elles sont simples ;

nous avons vu qu'elles sont résolubles par radicaux, lorsqu'on adjoint au domaine de rationalité les racines de l’unité ; nous verrons qu'il en est de même des équations abéliennes générales, comme l’a démontré Abel (*). |

Nous allons ramener d'abord la résolution des équations générales à celles d'équations irréductibles jouissant de la même propriété en démontrant le théorème suivant :

THÉORÈME. — T'out facteur trréductible du premier membre d'une équation abélienne, éqalé à zéro, donne de nouveau une équation abélienne.

Soit f(x) — fifx)fax)... le premier membre de l'équation donnée décomposé en ses facteurs irréductibles, fi(x) étant celui qui contient la racine x, ; il est évident que l'équation f(x) = 0 est abélienne, car ses racines s'expriment rationnellement au moyen de z,, et les fonctions qui les représentent sont échangeables ; désignONS-I6S parer, Dit) 002 Ti SOLE ten An te EU autre facteur contenant une racine que nous appellerons &{x,); les équations

f(x) = 0, PIS (&)] = 0 ont en commun la racine x,; par suite la seconde admet les m racines de la première et f(x) est satisfaite par les valeurs

LL 0 bi Re D ET qu'on peut écrire, d’après la propriété des fonctions 8 et en posant SGA à La alt) ele) Le produit Le — do][x — 0(%e)].. .[e — 0 1(20)] = [r — S(m)][x — $0(x)]...[r — 20, 1(21)]

étant symétrique par rapport aux racines de /i(x), est rationnel, et constitue un diviseur rationnel du polynome (x); comme ce dernier est irréductible, on voit que l'équation f(x) — 0 ne peut avoir d’autres racines que les m quantités précédentes ; leurs propriétés montrent que cette équation est abélienne.

La même démonstration s'applique aux équations obtenues en

(*) ABez, Œuvres complètes, t. I, n° xr, p. 114-140.

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annulant les autres facteurs irréductibles de f(x); elle nous indique de plus que tous ces facteurs ont le même degré.

84. Nous nous limiterons par suite aux équations abéliennes irréductibles, et nous emploierons à leur égard la méthode indiquée par Kronecker (*).

Soit f(x) —0 une telle équation de degré x, x, une racine au moyen de laquelle s'expriment toutes les autres, et 0,(x;) une autre racine ; d’après la propriété de l'équation donnée d’être irréductible, les expressions

DAT RU Et UC lLi -e sont encore des racines; comme le nombre de leurs valeurs distinctes est au plus égal à n, il existe, ainsi qu'on l'a vu au S 76, un exposant v, pour lequel Ui(x;) = 1, les , racines x, Ha), ..…., 01 t(a) étant distinctes. Si w = n, f(x) = 0 est une équation abélienne simple, comme celle que nous avons considérée au $ 78 ; si au contraire v, est inférieur à », on peut trouver une deuxième fonction D(&) représentant une nouvelle racine, et un exposant », analogue à », telque 6m) — x, et ainsi de suite jusqu'à une fonction 0,(x,) et un exposant v, tel que Ha) = 21.

Il peut arriver que les racines ainsi formées ne soient pas toutes distinctes et soient en nombre supérieur à n. Supposons que l’une des fonctions que nous venons de choisir, telle que 0,(x,) constitue une racine non encore obtenue; (x), 0(æ), ..., 05a7t(æ,) sont bien des racines distinctes les unes des autres, mais l’une d’elles peut être égale à l’une des racines autres que x, formées précédemment ; ou bien encore 0, peut être une combinaison de plusieurs fonctions A del Sue PP tetavoimianméemeivaleurque 00% .,. Nous allons réduire les expressions 0 au nombre minimum d'éléments (”*). |

Nous dirons qu'une fonction 0, appartient à l’exposant v, si ce nombre est le plus petit pour lequel on ait Usa) — 2; tous les autres jouissant de la même propriété sont des multiples de v,. Si

d est un diviseur de v,, 0, * appartient à l'exposant d; on voit de

(*) Kronecxer « Ueber abelsche Gleichungen », Monatsberichle, 1817, p. 845.

(**) Comparer KroNEcKkER « Auseinandersetzung einigen Eigenschaften der Klassenzahl idealer Zahlen », Monatsberichte, 1870, p. 8S1, et Nerro, Substilulionentheorie, p. 144.

plus que si deux fonctions 0, 9" appartiennent à des exposants v, v’ premiers entre eux, la fonction 06"(x;) appartient à y. En effet, soit À un nombre tel que l’on ait (4'0”)"(x,) = 2, l'égalité précédente subsistera si l’on élève le premier membre à la puissance”symbholique v#COmMIMENON a 016100) T0 PE TES ESEUTTE px = x, il faut que ky soit un multiple de y’; on voit de même que AY’ doit être un multiple de y, et la plus petite valeur que l’on puisse donner à À est le produit vy".

Plus généralement, considérons deux fonctions 0’ et Ÿ” dont les exposants v et v” ont un plus grand commun diviseur d; posons = dv et = dy, vi et vi étant premiers entre eux, et désignons par » le plus petit commun multiple dvi" de y et y. Toute combinaison de 0’ et 0”, telle que 9/0"" appartient à un exposant égal à m ou à l'un de ses sous-multiples ; mais on peut toujours en former une appartenant au nombre m lui-même; décomposons en effet le plus grand commun diviseur d en deux facteurs d' et d’

premiers entre eux et respectivement premiers avec v, et w; les l ! Il ( ÿ dvi y dvi ; deux nombres —- = — — d'y, et cle d'y, sont pre- ; miers entre eux et ont pour produit m; dès lors, d’après ce que

nous avons vu, le produit symbolique des deux fonctions 0 et 07

sl *L

d'exposants respectifs pr et ir appartient au nombre m. On conclut de là que si n, est le plus petit commun multiple de Vote VON, pourra former au moyen: dé né 1021 0e fonction appartenant à »,; nous la désignerons par 8,; toutes les combinaisons des fonctions 0 appartiennent à un nombre égal à mn, ou à l’un de ses diviseurs. Reprenons le système 061, 0, ...,0, et excluons-en toute fonction 9, égale au produit d'une de celles qui la précèdent dans la suite et d’une pue de 51, c'est-à-dire

satisfaisant à une égalité de la forme Bas) = 09ha) (<B où =0);

il restera un système 0, 0,, .. , 0, composé d’une partie des fonctions du système prunitif; nous dirons qu'elles appartiennent relativement à %, aux exposants respectifs vil, v,, ..., v, sices

nombres sont les plus petits pour lesquels on ait des égalités telles

que HAT as SAT), Gad) Er 721 Hi): EURE

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNÉS 143

par un raisonnement analogue au précédent, on pourra former une fonction S$, telle que, #2 étant le plus petit commun multiple de vr, w, ..., v,, la puissance 8/2 soit la première se réduisant à une puissance de $&,; on aura par exemple Bar) = SU) ;

toute fonction 0 appartiendra, relativement à S;,, à un exposant égal à », ou à un sous-multiple de ce nombre. |

n: est lui-même, d'après ce qu’on a vu, un diviseur de n,; si D 1 ON aura

mi = Sa(x,) = SA),

ë È ni L .

et comme l'exposant Æd de &,, c'est-à-dire Æ—— doit être un

multiple de x, il faut que # soit un multiple de nr, tel que pm, (9 > 1); il est alors permis de remplacer la fonction 8: par aan, qui appartient, non seulement par rapport à &,, mais encore par rapport à x,, à l’exposant nr, d'après l'égalité Dore an SE) T4, et », est le plus petit nombre jouissant de cette propriété. De la même manière, on pourra exclure du système 0, 0, .., 0! les fonctions pour lesquelles on ait une égalité telle que HÉNPEMEENE) (x<<B ou = 0) et continuer de cette façon, finalement toutes les fonctions Ÿ et leurs combinaisons pourront se mettre sous la forme HR OMIS 2 Re

sens (DES OO EU EEE | HO DT) 1 re, ; Ciel la

DO 1220 in, — 1 où les fonctions S& appartiennent respectivement aux exposants Ni, 2, ..., n, relativement à celles d'indice moindre et aussi relativement à x,, et où chacun des nombres n,, m2, ...,n, est divisible par le suivant.

Toutes les fonctions ainsi formées sont du reste distinctes, et représentent une fois et une seule toutes les racines, de sorte que

le nombre de ces dernières est LR Nil, À US

Nous supposerons donc que l’on ait exprimé toutes Îles racines

d'une équation abélienne irréductible sous la forme précédente au moyen de »,, et nous remplacerons les lettres & par 0 dans ce qui suit.

85. TuéorèmME. — La condition nécessaire el suffisante pour qu'une équation irréductible soit abélienne est qu'on puisse attribuer aux racines des indices tels qu’une fonction cyclique de ces racines, à une ou plusieurs entrées, fasse partie du domaine de rationalité.

La condition est nécessaire; supposons en effet qu'une équation soit abélienne, et qu'on ait exprimé les racines en fonction de l’une d'elles comme nous l'avons dit ; affectons chacune d'elles de v indices et posons

Li — oo. - -0)

DD SA EST APE 2 toute fonction cyclique à y entrées de ces racines, appartenant au groupe suivant ($ 30) :

[1 +4) mod r:) |Z Z+1| (mod.r:)