NE TON
est rationnellement exprimable. Elle est en eftet une fonction rationnelle de x,; si nous la désignons par C(x;) et si nous remplacons x, par une autre des racines de l'équation donnée, nous obtenons la même valeur qu'en effectuant sur la fonction cyclique C une des substitutions du groupe précédent; comme elles la laissent invariable, on a, en appelant pour un instant æ,, 22," "les
n racines, C(a,) = Cas) = .… = C(x,), d’où
Ca) — — [C(a1) + Cle) +... + C(as)|;
le second membre étant une fonction symétrique, on voit que la fonction cyclique considérée s'exprime rationnellement au moyen des coeflicients de l'équation.
Réciproquement, si une fonction cyclique des racines fait partie du domaine de rationalité, l'équation est abélienne.
Nous avons vu en effet au K 31 que les quantités SD IX s'expriment rationnellement au moyen de l’une d'elles x55...0, et d’une
DÉS ÉQUATIONS ABÉLIENNES 145
fonction cyclique particulière quelconque ; si celle-ci fait partie du domaine de rationalité, chaque racine est une fonction rationnelle de æw...0, et les fonctions Ü qui les expriment sont échangeables, par suite l'équation est abélienne.
Nous dirons qu'une telle équation, dont le groupe est un groupe cyclique à v entrées, est une équation abélienne de rang v.
86. Nous allons ramener la résolution des équations abéliennes générales à celle des équations simples à l’aide des considérations suivantes.
Parmi les n — nin...n, racines 4,»,...,, Considérons celles pour lesquelles x des indices, par exemple , ,...,h,, ont des valeurs fixes 4, &, ...,a,, et les autres variables ; leur nombre est Nu My+2...N,. Prenons une fonction cyclique de ces racines, relativement au groupe déterminé par
RE I Nr ER Ed a toute 2e Lil:
si nous la représentons par Ys,2,.« a, elle à pour toutes les substitutions du groupe cyclique min:...n, valeurs distinctes, obtenues en faisant varier les indices x; je dis que ce sont les racines d’une équation abélienne ; eu effet, toute fonction cyclique des y reste invariable pour les substitutions cycliques effectuées sur les racines æ, et est rationnellement exprimable, par suite l’équation est abélienne d’après le théorème précédent.
Lorsqu'on a résolu l'équation abélienne de rang w et de degré ni. ..n, donnant les valeurs des fonctions y, on peut déterminer au moyen de Yo: a les coefficients de l'équation satisfaite par les racines Lajape ea hi pat tt, lorsqu'on fait varier les derniers indices ; cette équation est abélienne quand on adjoint au domaine de rationalité la quantité 7y,,,.. ‘as Car les fonctions cycliques des racines font partie du nouveau domaine. Si l’on prend w—1, les fonctions y sont racines d’une équation abélienne simple de degré », résoluble par radicaux, ainsi que nous l’avons vu; lorsqu'on à calculé ses racines, la résolution de l’équation donnée se ramène à celle de x, équations abéliennes de rang v—1 et de degré n3:...n,, auxquelles est applicable la même méthode. Si l’on remarque que la connaissance d’une seule racine d’une équation abélienne entraine celle de toutes les autres, on peut énoncer le théorème et le corollaire suivants :
VOGT, — RÉS, ALG, 10
TuéoRÈme. — L'équation abélienne générale de rang v et de degré n = ninr..n, se résout au moyen de v équations abéliennes simples
successives, de degrés ni, na, ...,n, (°).
COROLLAIRE I. — J'oute équation abélienne est résoluble par radicaux lorsqu'on adjoint au domaine de rationalité les racines de l'unité. Pratiquement, on formera les fonctions symétriques
(a 0, ALES n — 1) et la résolvante Ta té [yo Ve Got Lt AE OL Dr CN aus CHERE
où w, est une racine primitive de x4—1—0; elle est rationnellement exprimable et, au moyen de "YT; et de w on détermine Yo, Yiy Y2s + Yn, 13 les fonctions cycliques des racines x qui composent 7, sont connues au moyen de cetle quantité, et l’on continue de proche en proche.
Si l’on remarque qu'une équation abélienne simple de degré composé se résout au moyen d’une suite d'équations de même nature et de degré premier (S 81), on peut énoncer ce deuxième corollaire :
CoROLLAIRE IL. — Toute équation abélienne se résout au moyen d'équations abéliennes simples successives de degré premier.
87. Nous terminerons ce chapitre par un exposé succinct des recherches de Kronecker sur la nature des racines des équations abéliennes, et leur expression générale au moyen des racines de l'unité; elles ont été exposées par lui dans différents articles insérés dans les Monatsberichte (1853, 1856 et 1877), et une partie en a été reproduite dans l’Algèbre supérieure, de Serret (t. Il, p. 693).
D’après ce qui précède, il suffit de nous limiter au cas d’une équation abélienne irréductible et simple, de plus de degré premier, car c'est à la résolution d'une suite d'équations de cette forme que se ramène celle des équations générales.
Soient æo, Æ1, ..., Æn 1 1eS racines d’une équation de degré premier n; leur détermination dépend du calcul des fonctions cycliques
() Kronecker, Monatsberichte, 1877, p. 847; Nerro, Substilutionentheorie, p. 208. Consulter aussi Jonpan, Traité des Substitutions, SS 405-407.
DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES 147
résolvantes rationnellement exprimables, de la forme
n—1 NP Are D wir FO MEE Li PE on a en effet (11) NTn — Zu hi,
Si l’on remplace w par vw’, on remarque que la fonction PAU PR CRC]
est rationnellement exprimable au moyen des coefficients de l’équa-
tion et de w' dèsque /h+lN +... est —=0(mod.n); on en déduit en particulier, +, désignant une fonction rationnelle, ù Une Y!
î FN \ PE w ER ©, :
yli on ) ? y n( /
DHIOmpose VE} (oh éeet Ent" fin) MOonen tire
Prenons pour À une racine primitive du nombre n, telle que, si RAA = {+ no, le nombre 6 ne soit pas divisible par n, et considérons le produit
Re) n—3 W De dy 24 À dy n—1} 5 17 7 (12) (2 Re + + —-- = on(wt)#" o(wt)}" VEN oo" t).
Yht Vin2#
0 L4 a x —{ 2 ° Le premier membre se réduit à W# —#4"%; sil'on prend 5
tel que o-+s—=0 (mod.n)
s n'est pas nul par hypothèse; le produit 447 est rationnellement
exprimable, et l’on a par exemple
WE = pu), d'où da = You) = Yrre(ut)y (ui).
On peut poser {s = k et exprimer w‘ en fonction de w", qui est aussi racine primitive ; en désignant o{w')y(w') par F(w") et rempla-
. 1 . , Lire cant %* par la puissance — du deuxième membre de léqua-
tion (12), on arrive pour déterminer 4, — 4% à la formule
= Fot)] Flat" NA Il reste à simplifier la parenthèse ; si / est le nombre tel que 5 =4MmOU- 7 MOTTE tol = kl, t= kl; on peut remplacer w! par sa valeur en fonction de w* et poser
on(w!) = fi(w*);
alors
EAU CN LE 2: 2 CLR.) Listes AC) Es — fi(w*#},
« prenant avec le reste de Aioutestles valeurs Le, quand À varie, et & satisfaisant à la condition a8=1 (mod.n); en modifiant la fonction F(wl), on peut prendre 8 entre O0 et n —1.
On peut enfin poser «k=7+r, de sorte que fr=#, et si l’on choisit s defaçonque rs—=1 (mod.n), $ sera déterminé par la congruence $B—=/ks; on aura donc la formule
n—1 (sx) (13) Ye = Fu) [T AG), NA
où r varie de 4 à n—1, s est donné par rs —=1 (mod. n), et sk doit être réduit à son reste (mod. n).
Telle est la formule donnée par Kronecker et déjà trouvée par
Kummer (Journal de Crelle, t. 35, p. 363); F et f, désignent des
fonctions rationnelles, et la formule (11) fournit la valeur des
TACINCS ST Le Lie
88. Il reste à démontrer la réciproque; quelles que soient les fonctions F et /; rationnelles dans le domaine donné, les formules (11) et (43) donnent les racines d’une équation abélienne.
Remarquons d’abord que 4* est une fonction rationnelle de w ; on à en outre Vu D D ES) IL: (100) DONS
l’exposant de /; étant entier et w” étant une fonction de w', on voit
DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES 149
que le second membre est une fonction rationnelle de w': nous pourrons donc poser, en le désignant par e;(w'),
(14) Vu = Yn(u).
Nous allons montrer que les fonctions symétriques des racines ainsi que les fonctions cycliques sont rationnelles ; 1l suftit de le faire voir en particulier pour Xx? et Èx,,,#}; nous partirons pour cela de la formule (11) où l’on peut remplacer k par £t si { est premier avec n ; On à ainsi
nd = no Ye, x? — ADyr. Te L'an ans My a
où À est un coefficient numérique, et
N\ NA “! “! —h\(k k Doc) ZX}, = AL e ee Ye « A .(Zro ( ho y
Si ki ++... nest pas —=0, la dernière somme est nulle; elle est égale à n dans le cas contraire ; 1l reste de cette façon
— < a \' Æ k. .. t Ve Lit — NA ee + Ve Vite ee = nAËy 7... ÿi Hu pr ox (wt)ox. (on) ,
la dernière valeur a été obtenue en appliquant l'équation (14) ; dans la somme, A++... doitêtre —=0, etils’ensuit, d'après une remarque faite, que tt: est une fonction rationnelle de w!'; on à donc
où R est une fonction rationnelle ; le raisonnement précédent montre qu'elle garde la même forme quel que soit {: elle est donc égale à
TR) + R(u?) +... + Ru 1)],
et c’est une fonction indépendante de w, par suite rationnellement exprimable au moyen des coeflicients de F et ji.
Un raisonnement analogue montre que la somme Xx,,1x? est rationnelle; par suite la proposition est démontrée, et les formules (41) et (13) donnent toutes les racines des équations abéliennes de degré premier.
Une conséquence importante tirée par Kronecker de ce qui précède, et que nous nous contentons d’énoncer, est la suivante :
Les racines d'une équation abélienne de degré quelconque, à coefficients entiers, sont des fonctions rationnelles des racines de l'unité.
89. Appliquons ces considérations aux racines des équations abéliennes du troisième degré.
Sans nuire à la généralité, nous pouvons supposer que %, c’està-dire la somme des racines, est nulle, et faire entrer la fonction F de la formule (13) dans les facteurs du produit ; on a de cette façon
de f(u°)°, ÿ = f(o)°f(w?)?, ou bien encore
1 2 8 Key
Wie (a SN 3) (a by 3) 2 2 1 W = (a+ bÿ— 3)" (a — bÿ—3};, où a et à sont rationnels. Les racines sont alors données par les équations JL = Yi + Ya ST — W°i + WU, SX = + w»,
et les coefficients de l'équation, mise sous la forme a*+px+q=0, ont pour valeurs
Joe Wide a? + 3b° PE | Vi + di 2a(a? + 30?) RSR AR RUN EE LAURE TR 1 27 97
on retrouve les expressions déjà données au $ 53 en remplaçant 9X mi a et b par — et —.
fous hs Les raisonnements que nous avons faits ne s'appliquent pas à l'équation du quatrième degré, puisque 4 n'est pas un nombre pre-
mier ; nous allons chercher directement la valeur des fonctions L— Lorr 1% rm CE NE Eu (£ —= (A, L. PAS 3),
d'où nous déduirons les racines par la formule (11). | r | . e LI Les fonctions tits et © sont cycliques et s'expriment ration- 3 1 nellement au moyen des quantités connues et de la racine 2 de
l'unité ; comme elles se transforment l’une dans l’autre par le changement de à en —1, on peut poser
Fe = HA + di), — bi — di),
DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES 151
b et d étant rationnels, d’où l'on a “27 GEL dt a DA + d2), — = —; Es (4 + d?) UT ER PE Dibs
pas lorsqu'on remplace à par —7?, de sorte qu'on peut la repré-
d'autre part est aussi une fonction cyclique, et elle ne change
* on en déduit
senter par 37?
et
dE — - (A + di(A1 — di).
Nous avons de cette façon 4, en extrayant une racine quatrième, % au moyen d’une racine carrée et %, en changeant dans 4 % en —i; comme % est un nombre rationnel qu'on peut désigner par a, on obtient finalement
AT = Ter EN TE Fe +\/2 (4 — di)ÿ1 + d,
ou, en remplaçant la somme Ÿ+% par la racine carrée de son carré, 4% = a+ LI + E HV + + VIE).
Telle est l'expression, déjà donnée par Abel, d’une racine d’une équation abélienne du quatrième degré; les autres s’en déduisent immédiatement en appliquant la formule (41). On vérifierait facilement que les fonctions symétriques et cycliques des racines sont rationnellement exprimables, quelles que soient les valeurs rationnelles de a, b, c, d.
