DES ÉQUATIONS DE LA DIVISION DU CERCLE
90. Nous avons vu dans les chapitres précédents le rôle joué par les racines primitives de l’unité dans la résolution algébrique de certaines équations ; nous allons montrer que les équations dont elles dépendent rentrent dans la catégorie des équations abéliennes, et sont résolubles par radicaux; nous entendons par là que les racines primitives de l'équation
x" —1 —=0 peuvent être calculées séparément au moyen de radicaux lorsqu'on suppose connues celles des équations binomes de degré moindre; le calcul étant répété pour celles-ci, on voit comment les racines primitives de l'équation de degré m sont calculables par radicaux successifs.
C'est du reste l'étude approfondie faite par Gauss de la résolution des équations binomes qui a conduit Abel à celle des équations qui portent son nom; nous suivrons ici une marche inverse en appliquant aux équations actuelles les résultats du chapitre précédent.
Remarquons d’abord que si m — mim:...m, est une décomposition du nombre ” en facteurs premiers entre eux deux à deux, la recherche d’une racine primitive d'ordre m se ramène, comme on le sait, à celle d’une racine primitive de chacun des ordres Mu, M, ..., M, de sorte que si le nombre m décomposé en ses facteurs premiers est de la forme
D SM ne:
il suflit de calculer une racine primitive de chacune des équations = 1 = 2 — 1 — 0,
Pour la première par exemple, prenons une racine primitive w, de l'équation
x —1 = 0, puis désignons par 6, W,, ..., w, une racine de chacune des équations successives €? — w, — 0, XP — w3 = 0, À re GC LE leurs valeurs sont par exemple DS — w21/o1 , (OE— WA/t , Æ D Wha/u, 1 ;
je dis que le produit
UD 0)10s ,, .0,
est une racine primitive d'ordre p*; en effet, on a d’abord 1 —0; il sufit de voir que le produit w ne satisfait pas à l'équation x? "—1—0 qui possède toutes les racines non primitives de celle de degré p°; orona
a—1 1) 2, tp? ir
qui est = 1, par suite w est racine primitive de l'équation de degré pp. On voit que le calcul de w se ramène à celui de «, et
BIEN à l'extraction de x—1 racines successives d'indice p; dès lors il suffit de considérer le cas d’une équation binome de degré premier p.
LS 91. Les racines de cette équation, autres que l'unité, sont primi-
tives, et de la forme
2 )—1 HU, eo
elles satisfont à l'équation
XP — À
ne RSR de LG AT E — 0,
appelée par Gauss « équation de la division du cercle pour le nombre p ».
Elle possède la propriété d’être irréductible (*). Supposons en effet qu'elle ne le soit pas, et que f(x) soit le produit de deux polynomes entiers à coefficients rationnels; d’après une proposition rap-
(*) Comparer Nerro, Substilutionentheorie, p. 1174.
pelée au $ 33, on peut admettre qu'ils sont à coefficients entiers; supposons que l'on ait (2) f(x) = e(a){x), où © et % ont leurs coeflicients entiers ; pour x —=1 onentire p = e()Y(1), de sorte qu'un des nombres qui forment le second membre est égal AVE SOI to AIECeUOonbre, o(x) s'annulant pour une racine telle que w,, le produit | e(æe(x?).. .o(ætt) s’annule pour w,, wŸ, ..., wf-1, c'est-à-dire pour toutes les racines de l'équation (1) et est divisible par f(x); en effectuant le calcul, on constate que le quotient a ses coefficients entiers, et en le représentant par fix), on a a(a)e(at).…e(20 1) = f{x)fi(æ).
Si l’on fait dans cette identité x = 1, il vient Œ APT = pt), ce qui est impossible puisque /,(1) est un nombre entier ; par suite l'équation (1) est irréductible.
92. C'est une équation abélienne, car si 4 est une racine primi-
tive (mod. p), les racines w,, wi,.., peuvent être représentées par
2 p—2 { { € w, w, uw, ..., wÿ
ou, en posant Ü(w) = wf, par Ou), Ow), ...,; 0 7(w), on peut par suite leur appliquer la méthode du $ 78. Si nous désignons par « une racine primitive de l'équation LPS A LEE 10) la fonction cyclique
ç 4 )—1 T, = D = (o + au + +. + 47 fl di
est rationnelle, ainsi que les produits —2\ p—1—}
à 2: AE ) Da ah fu atot. pa Ba (open par fut TI
de sorte a l'on a, ense Me aux formules (8) du S cité,
ivre AE Ter + P-YT =]
1) ACADTES Tes Sn La Tia NT) a tr L
xs
Le calcul des racines w, w?,... est ainsi ramené à celui d’un seul radical d'indice p—1 et à celui d’une racine primitive de l’équation binome de degré p —1.
Comme f(x) et 0 ont leurs coeflicients réels, la détermination de ?-V/T, se ramène, comme nous l'avons vu au $ 79, à la division d’un angle & en p—1 parties égales, et à l'extraction de la racine carrée d’une quantité connue U, qui est égale à la valeur absolue
du produit réel Hp (w ne ONE ap?) (ow AUDE AP 0 A T- at ©) $ En effectuant le produit indiqué au second membre, on a Wii = (w? DATI PENEs PA med WA?) + (wi + wft+08 +... + wti+9#P?) pis A CHE Re DER EE EU nl se) Rx
Les nombres 2, 1+3g,
un ordre quelconque, congrus p—1 p—1
est donné par 1+g°®, car g? est la seule puissance de y
qui puisse être —=—1 {mod.p»); on en conclut que chacune des
+g%,, ..., 1+g*? sont, dans 2,
à 3, -.., p—1, p; le dernier ?
. —9 , . . vie puissances &w?, w!19, ..., wt+# * représente une racine primitive p—1
de l'équation donnée, à l'exception de w!T# ? — 1, et que chaque parenthèse est identique à la somme des racines de f(x) = 0,
p—1 c'est-à-dire égale à —1, saufle facteur de x? qui est égal à p—1; ona donc p—1 p—1 Ve = — U +a+é+...+a? +... Ha?) + pa?
pt Comme la première partie est nulle etque «x ? ——1, ona RUE — nu: U == P:
D'où ce résultat :
THÉORÈME I. — Pour résoudre l'équation binome de degré p, ü
suffit : 4° de connaître une racine primitive de l'équation binome de degré p—1; 2° de diviser un angle que l’on peut alors construire en p—1 parties égales ; 3° de prendre la racine carrée du nombre p.
93. Le problème est ainsi résolu, mais on peut opérer d’une autre manière, et prendre d’autres révolvantes que la fonction cyclique T;, comme nous l’avons vu au $ 81 ; si l’on pose
p —1 = Mme. ..Mm,
en décomposant p—1 en facteurs égaux ou inégaux, on peut déterminer w en résolvant » équations abéliennes successives de
degrés m4, M, ...,m, et adjoignant au domaine de rationalité les racines des équations binomes au — 14 = 0, di A —=10; My Lv — À = 0.
a étant une racine primitive de la première, on posera ne gui gs Yo ou ER REESS 7 uw? + AE Le FO 7 Éo 2% Te ons ART - "3 Nr ae :
et on formera la résolvante il 2 (40 — %1%1 —- 470 + ne + TA m1) "4 qui s'exprime rationnellement au moyen de , et des coeflicients de l'équation donnée. On déterminera les inconnues y au moven de L y
2, et de ‘YT;i: leurs valeurs sont données par des formules analogues à la formule (9) du $ 81. Connaissant l’une d'elles, par
a nm :
exemple Xo, on partagera les — racines dont elle est la somme en
m, séries, et l’on posera 2 gite ge DO) EAU on RS m . m, (mm, +1 2m, (m1
