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m,(m,—1 2m,(m,—1 SLA Prat GE GONE 1 LODEL

la résolvante

Ri = (90 + dpi + age + Hair on, 1)", où « est une racine primitive de l'équation x”"2—1 —=0, s’exprime rationnellement au moyen des coefficients de l'équation donnée et de y,; on déterminera alors les inconnues + au moyen

Mao y — r Fa . A de «et de ŸR, comme précédemment; on continuera de la même

manière en partageant les ——— racines dont +, par exemple est MM

la somme, en m, séries, et ainsi de suite. On peut dès lors énoncer le théorème suivant :

THÉORÈME IL. — Si p est un nombre premier, et si l’on décompose p—14 en un produit de la forme

DA —=EmAN. M, il suffit, pour résoudre l’équation binome de degré p et en déterminer une racine primitive : 1° de calculer une racine primitive de chacune des équations vi ee À — 0, TE FFS (| —= 0, ere LT = = 0 à

2° de calculer des racines successives d'indices nu, m2, ..., m, de quanhités s'exprimant chacune rationnellement au moyen des radicaux déjà formés précédemment et des racines primitives dont on vient de parler.

On applique ordinairement ce théorème en prenant pour Mi, Ma, ..., M, les facteurs égaux ou inégaux de p—1 décomposé en ses facteurs premiers ; il est cependant un choix particulier de ces nombres que nous allons mentionner.

Supposons que les diviseurs mu, m2, ...,m, de p—1 soient premiers entre eux deux à deux, sans être forcément premiers absolus ; considérons les fonctions analogues à %,, obtenues en remplaçant m, par nu, ..., m,, et désignons-les par

Yu = © + ITR ET HR ee, Poeme AIMER ERA ENS .,

Xoy = © + DRE DU ;

x S'exprime au moyen d'une racine primitive « de l'équation a"n—1 —0 et d'un radical YTy portant sur une quantité qui dépend rationnellement de «;.

Formons alors l'équation f(x, y) = 0 dont dépendent les racines dont la somme est y»; Ses coefficients sont des fonctions rationnelles de cette quantité ; toutes les équations analogues, obtenues en donnant à À les valeurs 1, 2, ..., v, ont la racine commune w et n’en ont aucune autre ; on obtiendra donc cette racine en cherchant le plus grand commun diviseur des polynomes /, et en l’égalant à zéro ; la racine de ce commun diviseur, qui est du premier degré, est une fonction rationnelle des quantités Yo Xos On peut donc énoncer le corollaire suivant :

ss.) Love

COROLLAIRE. — Si les nombres nu, m:, ..., m, dont le produit est égal à p—1Â sont premiers entre eux, une racine primitive de l'équation binome de degré p s'exprime rationnellement au moyen d’une racine primitive de chacune des équations binomes

dn—A—0, 2—1—0, ..., a"w—1—0 .el de radicaux d'indices m,, Ma, ..., m, portant respectivement sur des fonctions rationnelles de ces racines.

Le cas le plus important est celui où les facteurs du nombre p—14 sont tous égaux à 2; le nombre premier p est de la forme 2"+1, etil est nécessaire que m soit lui-même égal à 2, car si : l'on avait m — 2% (2m +1), le nombre

Dm L 4 — (22 )2m"+1 MUST | serait divisible par 2* +1 et ne serait pas premier. Les racines primitives des équations binomes auxiliaires sont égales à —1, et les radicaux successifs ont tous leur indice égal à 2. On a dans ce cas le résultat suivant :

TaéoRëme LI. — ZL’équation binome dont le degré est un nombre premier p de la forme 2 +1 est résoluble au moyen d’extractions de racines carrées successives.

Pour u —90,1,2,3,24, on a des nombres premiers qui sont

DIS ON NS ER DO OO E mais pour pm —5, le nombre obtenu n’est pas premier, car 22 + 1 — 4294967297 — 641.6700417, de sorte qu'on ne sait pas si la suite des nombres de la forme précédente contient un nombre limité ou illimité de nombres premiers.

94. Considérons le cas où l’on décompose ie nombre »—1 en P 1

p — 1 un produit de deux facteurs m = 2 et m = 1 So UNE de-

vons poser ji DER ONE ide …., Li = HN 1e 0e.

et former la résolvante D = (x — XIe T, s'exprime rationnellement au moyen des coeflicients de l’équation ; on obtiendra sa valeur en remplaçant dans le produit 44, »

du $ 92 « par —1, carona a7?— —1 et les deux facteurs de ce produit sont égaux à yo—7,, nous avons de cette façon A1 Et.

Comme on a d'autre part yo+y1 — —1, les deux inconnues 40 et y, ont pour valeurs

es ) EE m=s te V?f =+ five

Nous devons ensuite exprimer en fonction rationnelle des deux quantités précédentes les coefficients des équations

fo(æ) = (x = w)(d — w9)(æ = w1°) Ds (|.

fix) = (x — 1) (æ LE of )( — w1°) er 0:

dont les racines entrent respectivement dans yo et 71; un coefiicient À de la première par exemple est une fonction entière à coefficients entiers de toutes les racines et a la forme

AR 00 Et Dio Gad A Gb EE EAU

HORS SOUS DO TNA 0 MoN MEL = un en effet, À ne change pas lorsqu'on remplace w par w’, de sorte que l’on a encore

VNESDASE uw —+- PAU hr, d'où l’on tire (A3 — a )w® + (ay — d3)tu9° 0:

cette équation, que l’on peut réduire au degré p—2 par rapport à la racine w appartenant à l'équation irréductible f(x) — 0, ne peut avoir lieu que si les coefficients sont tous nuls, c'est-à-dire si DORA Us 2 CODE - Gi cn ACC LOUER NOUS VOUlONS démontrer.

Il résulte de là que le coefficient À est une fonction linéaire à coefficients entiers de 7, et de y:, ou bien, en vertu de la relation 4o—+y1 = —1, une fonction de même nature de ÿ,; par suite fox) peut se mettre sous la forme

fox) = P+ Q%0; où P et Q sont des polynomes entiers à coefficients entiers ; on aurait f(x) en changeant y, en y, ce qui donne

fix) = P+Qy;;

en remplaçant y, et y: par leurs valeurs, on peut écrire

= LleeVer rar s@=ifx-V nr]

où X et Y sont encore des polynomes entiers à coefficients entiers. Remarquons que le premier membre f(x) de l'équation (1) est égal au produit fi(x)f(æ) ; on a donc l'identité

4 Pt fe) = a+ eat = EUX (a pv |

d’où le résultat suivant :

THéoRÈME IV. — Lorsque p est un nombre premier, on a identiquement pi (a Hate +m+A) = X?—(—1)2 pY?,

X et Y étant des polynomes entiers à coefficients entiers. 95. La résolution de l'équation binome de degré m est équiva-

lente à la solution de ce problème : Diviser la circonférence du cercle en m parties égales; cela résulte de ce que si w est une

; : , | Ars Tr racine de l'équation binome égale à cos —+1sin —; ona m m , DETREMRE Tr OC NT m m 2er 9 COS — — rie ae Ce mt NET 9i sin — mu AS CEE m

: D kr l (— —) Sin —— AU à m 2

par suite la connaissance des racines w de l'équation binome en-

traine celle des lignes trigonométriques des arcs égaux à — et nm

celle des points de division de la circonférence partagée en m parties égales, et réciproquement. On peut donc énoncer les résultats suivants :

Pour inscrire dans une circonférence un polygone régulier d’un nombre premier p de côtés, il suffit de diviser la circonférence en p—1 parties égales, de diviser un arc, que l’on peut alors cons-

truire, en p—1AÂ parties égales, et de prendre une moyenne proporhionnelle entre le rayon et p fois le rayon.

Sr les facteurs premiers de p—1A sont mu, nu, ..., m,, ù suffit aussi de partager la circonférence en mi, ma, ..., m, parties égales et de construire des quantités exprimées par des radicaux successifs DANTICES Mis Ma, Nb

Îl est toujours possible d'inscrire dans une circonférence, avec la règle et le compas, un polygone réqulier dont le nombre des côtés est un nombre premier de la forme 2° +1.

Considérons le cas de p —5 et choisissons pour g le nombre 2; nous avons

g9 = 1, g = 9, g = À en posant

(mod. 5);

Voie W® — w + w#, ANSE WP — 0? + wô.

%o et y, sont racines de l'équation | +4 —1 = 0.

Si l’on ne fixe pas la valeur que l’on prend pour w, le choix des

racines y,, Y1 est indifférent, mais si l’on se donne

2r NT WDRICOS EPS ISIN D 5

il faut prendre

PAT SAR 20 eee À 1 EE ———— 0 . ? ” 2 Ensuite, on a © + wo = y, (DID RL W? HW = y1, GIE EM

de sorte qu'on a à résoudre les équations

2 — yo% +1 = 0,

gx +1 = 0, et alors on a, en choisissant comme il convient le signe du coefficient de 2,

—1+ÿ/5+iV10+2/5 RE rl Pour p — 17, lenombre g—6 est une racine primitive; il fournit comme restes de g°, g!, ... les nombres 10 212 0 210115165819 #10,9,;3.

VOGT, — RÉS, ALG. A1

< Les sommes

— Ye p Yo — O + D? + of + of + wt6 HE ot + ww),

4 = OH wo + 67 + ott LE oft JE 0 + 10 wo sont les racines de +4 —A= 0.

Si l’on choisit pour w la valeur

C à Pr D COS ES" 47 17

il faut prendre, comme on le voit facilement,

—1+ 17 —1— 17 ROC AN LT DEA On à ensuite, au moyen de y, et y,, Do = © + + D 16 + wt$, ph = bé ot Pol, gi = W + W$ + w!5 + w?, g! = w wtéE W5 + wÿ, qui sont racines de SNL, Pie Li ELU à leurs valeurs sont CURE Dee — 2 n, LT RDE — VEN KV

En se limitant à o, et posant

39 = ù + w!6, be LOCAL On à

ou encore, en exprimant #; au moyen de %,

qui donne |

2 i ROME Po [L 0 ! 20 ?0 !

DS Vous, (ENS

Enfin w et w!'$ sont les racines de

de sorte que l’on a

« = + +i mers

Il est facile de tirer de là une construction du polygone de 47 côtés inscrit dans la circonférence (*).

96. Les mêmes considérations s’appliqueraient à l'équation dont

, 2 dépend directement la recherche de cos 5 on l'obtient en ex-

primant la fonction

NE nn Nm = + mr

au moyen de 3 = TX +— ge et posant æ—cosa+isina; onaainsi z—2cosa, V,—2 cos ma,

et l’on obtient, par un calcul employé dans la théorie des équations réciproques,

m(m — 3) : : on re 2 Mk (3) 2iC0S Murs mg"? + ro me ; ; 27 TNA Il suflit de faire a —— pour avoir l'équation ayant pour nr racines 2r 4T 2(m —- 1)r 2m (4) 2 cos » 2 COS —, ..., Rene 2 COS ——nt mt mt

fa, C'est une équation abélienne, car si l'on représente par T1, La, .. G $) Lyn1; Lin

les m racines précédentes, x; est une fonction de x, donnée précisé-

AT ment par la formule (3) où l’on remplace m par k#, a par — et z m par &; de plus si l’on pose pour toute valeur de £ xx; = @y(xi), on à dhkr

(à) 0X,) —= rôti) — 2 COS a

de sorte que les fonctions 0 sont échangeables et l'équation est abélenne. On pourrait lui appliquer les procédés que nous avons

(*) Consulter à ce sujet Serrer, Algèbre Supérieure, t. I, p. 565 ; Nerro, Substitutionentheorie, p. 183; BacumanN, Die Lehre von der Kreistheilung.

indiqués pour la résoudre par radicaux, mais cette méthode de résolution serait au fond identique à la recherche des racines m* de l'unité:

Il est préférable de remarquer, dans le cas où »” est un nombre impair égal à 2u +1, que les racines de la suite (4) sont l’une égale à +1 et les autres deux à deux égales et de signes contraires. On partira de l'équation binome

TRE 1e 0) ou plutôt de la suivante rs es |

(6) ee pt AA D pm

et on lui appliquera la méthode de réduction des équations réciproques, en formant l'équation ayant pour racine 2 = x + ” en se reportant à la formule (3) qui donne V,,, on a à calculer

U = V+Vis+... + Vi +1,

ce qui donne, en égalant à zéro le résultat,

Cette équation, qui admet pour racines les valeurs distinctes de la suite (4) autres que l’unité, est encore une équation abélienne, d’après la propriété exprimée par l'équation (5); elle est alors résoluble par radicaux.

Dans le cas où m—2p—+1 est un nombre premier, on reconnaît que les racines sont de la forme suivante, en désignant par À une racine primitive (mod. m) (*).

2x 27 21?2r 28 Ir (7) 2cos—, 2cos —, 2 cos RE D CUS mn m nt mt en effet, les puissances À°, À, X?, ..., A# 1 sont des nombres dis-

tincts de la suite 14,92, 3, ..., m—1; il suffit de faire voir que les & cosinus précédents sont distincts pour affirmer que ce sont les racines de l'équation U, = 0.

Or si l’on avait par exemple

ANT PANE COS —— — COS mn

(RLk; RE <u—1),

(5) Comparer SERRET, Algèbre supérieure, t. II, p. 560.

on en déduirait 94 911 SH T

SNMP MH Lt = m, nt mn

d'où ONE = mn:

le nombre premier m ne divisant pas }* serait un diviseur de ALI oude —1, c'est-à-dire du produit }#%— 1 de ces deux nombres ; mais cela est impossible, puisque 24— 2} est inférieur à m— 1.

On voit done que les racines de U, —0 sont données par la

suite (7) ; si l'on représente la première par x,, et par 0(x,) la fonction rationnelle qui représente la valeur de la seconde 2 cos = on constate que les nombres de cette suite peuvent être représentés par GrAU I RCE) EP RUES Te

ils sont les racines d’une équation abélienne simple, et nous avons vu précédemment comment on les exprime au moyen de radicaux.

Dans le cas où m est un nombre pair, de la forme 2u+2, les racines de la suite (4) sont l’une égale à +1, une autre égale à — 1, etles 2: autres sont encore égales et de signes contraires; : elles sont les racines de l'équation obtenue en remplaçant dans l'équation suivante

VSRETT

(8) me en De da ae in 0

1 me HEAR CUP EL l'on pose à? —1t, t est fourni par une équation de degré & analogue à (6); dans le cas où y est pair, on lui applique la méthode précédente, et z est donné par la relation 1 1 DDR — Ü+ — ; æ l

si au contraire p est impair, l'équation en f tirée de (8) a une racine égale à —1, et l’on est ramené à une équation de degré u—1,.