CHAPITRE XII

97. Nous avons vu que les équations abéliennes sont résolubles alsébriquement après adjonction au domaine de rationalité de certaines racines de l'unité ; elles sont caractérisées par cette propriété qu'une fonction cyclique des racines est rationnellement connue ; nous allons généraliser et rechercher quelles sont toutes les équations irréductibles résolubles de degré premier, en suivant la méthode indiquée par Kronecker dans ses leçons sur la théorie des équations algébriques professées à l'Université de Berlin, et reproduites en partie dans les Monatsberichte (3 mars 1879).

Nous considérons d’abord une équation

(4) PRIT AR ER RAR EEE de degré premier n, dont les coefficients font partie d’un domaine de rationalité (R, R', R’, ...), et irréductible dans ce domaine ; comme au chapitre V, nous représenterons ses racines par Los Las ce. Ln 1. NOUS allons d’abord étudier l'effet produit sur cette équation par l’adjonction au domaine d’une ou de plusieurs fonctions cycliques de ses racines.

En nous reportant à ce que nous avons dit sur les fonctions cycliques et métacycliques de plusieurs variables (chapitre V), nous n'avons à considérer pour n premier que les fonctions cycliques simples. Si l’on adjoint au domaine de rationalité une fonction cyclique particulière, toutes les racines de l'équation donnée s’expriment rationnellement au moyen de l’une d'elles dans le nouveau

domaine ($ 26); si donc une des racines s'exprime rationnellement, il en est de même des autres, et l'équation devient réductible, le premier membre étant décomposable en n facteurs du premier degré rationnels.

On peut montrer du reste que si le premier membre f(x, R, R',R’,...) se décompose en plusieurs facteurs irréductibles lorsqu'on adjoint au domaine une fonction cyclique Y(æo, 41, ..., Œn 1), ce ne peut être qu’en facteurs linéaires ; si l’on a en effet par exemple un facteur irréductible

ot, VR R,...) = (2 — 2) — it — 2)...

que l’on peut encore écrire, en exprimant 1, %, ... au moyen

de To; (æ "Ti o)[æ de 0(xo, )ILe — 02(To, y) ...)

et un autre +, contenant une autre racine x,, la substitution du groupe cyclique auquel appartient y et remplaçant x, par x, ne change pas la valeur de + et la transforme en +,; de cette façon chacun des facteurs irréductibles a le même degré et ne peut être que du premier degré, puisque » est premier.

Ainsi donc, après l’adjonction au domaine de rationalité d’une fonction cyclique particulière, l'équation reste irréductible ou se trouve décomposée en facteurs linéaires, c’est-à-dire résolue.

98. 11 y a (n—1)! valeurs algébriquement conjuguées d'une fonction cyclique, correspondant à (n—2)! groupes distincts et appartenant n—1 à n—1 aû même groupe; il est impossible que l'équation se trouve résolue lorsqu'on adjoint une fonction appartenant à chacun des (n— 2)! groupes distincts, et 1 existe au moins une fonction cyclique dont l’adjonclion laisse l'équation irréductible.

En effet, supposons pour plus de généralité que l'équation donnée soit spéciale et possède un groupe G auquel appartient algébriquement et numériquement une fonction o(T,, DRM URI TELE SOIE Y1(Los Lis +. En 1) une fonction cyclique dont l’adjonction rend l'équation réductible en facteurs linéaires

ft) = [x — Re, le — Re, v1)]...

Formons le produit F(x) = Hz — Ro(o, Y:)]

étendu à toutes les valeurs algébriquement distinctes que prend pour toutes les substitutions du groupe G; c'est une fonction appartenant au groupe de l'équation, et exprimable rationnellement ; l'équation F(x) = 0 ayant une racine commune avec la proposée F(x) est divisible par f(x) qui est irréductible, et se décompose en général en plusieurs facteurs dont l’un est f(x); si

fx) = [re — Rio, 1x — Ro(y, v:)]. fix) = [x — Ro(o, v3)]e — Ro(e, v:)]. +,

sont les facteurs irréductibles de F(x), les substitutions du groupe G doivent transformer f(x) dans chacun des autres facteurs, et comme elles laissent f(x) invariable, tous les facteurs sont identiques, de sorte que l’on a F(x) = f(x):

on en conclut que le nombre des valeurs algébriquement distinctes de y, entrant dans le produit F(x) est égal à An, et l’adjonction de chacune d'elles produit une décomposition de f(x), c'est-à-dire la résolution de l'équation proposée.

S'il y a d'autres valeurs algébriquement distinctes des Àn précédentes parmi les (n—1)! valeurs possibles de ;, produisant une réduction de f(x), un raisonnement analogue montre qu'on peut les ranger en séries distinctes, contenant chacune un nombre de fonctions multiple de n, celles de chaque série se déduisant de l’une d'entre elles par les substitutions de G; comme (n—14)! n'est pas divisible par nr, on voit qu'il y aura au moins une fonction cyclique des racines dont l’adjonction laisse l'équation irréductible.

Soit (Tdi Li) uno telle fOnCUONMAÏSSAN STEP SirrenucE tible ; supposons qu'elle appartienne à un groupe cyclique tel que CIS (nn NS RP CL

le groupe G de l'équation doit contenir CG comme sous-groupe, ou lui être identique. Supposons en effet que cela n'ait pas lieu; en adjoignant au domaine de rationalité la fonction y, la fonction uy+v?, où © appartient au groupe G, est rationnelle dans le nouveau domaine, et appartient au groupe G formé des substitutions communes à G et à G; l’ordre de ce groupe G' étant diviseur de n ne peut être l'unité, car l'équation serait résoluble, la fonc-

tion de Galois devenant rationnellement exprimable; il ne peut être que », et G& doit se confondre avec G ou le contenir comme sousgroupe, de sorte que l’on peut énoncer le théorème suivant :

THÉORÈME I. — Le groupe d’une équation 1rréductible de degré premier est un groupe cyclique ou doit contenir au moins un tel groupe comme sous-groupe.

Il renferme le groupe de toute fonction cyclique dont l’adjonction laisse l'équation irréductible.

99. Supposons maintenant que l'équation irréductible (1) ACTA R PRES RER T0

dont les coefficients font partie du domaine défini par les paramètres indépendants R’, R”, …, et dont le degré n est premier, soit résoluble algébriquement.

Cbneideronssunefonctionccycliquemtélléquen tr Ti. Gi appartenant au groupe GC dérivé de la substitution

Se EE (mod. n) et de ses puissances ; nous avons vu que parmi les (n—1)! groupes auxquels appartiennent les valeurs conjuguées de y,, il en existe n—1 identiques à C,; ce sont les groupes Ci, C, ..., On 1 dérivés respectivement de

Don Mod mA 1):

les autres groupes se partagent demême en séries de n—1Â groupes identiques ; on les obtient en laissant dans C les éléments x et &1 invariables et effectuant sur les n—2 autres %, %3, .…., T1 toutes les substitutions possibles. À ces (n—2)! groupes appartiennent les valeurs conjuguées que nous désignerons par

Y1 Y2; .., Y(n—2)! - Adjoignons au domaine de rationalité chacune de ces fonctions cycliques et désignons par

De, y1) = 0, f(æ, V2) = 0, ... 1, Y(n 2)!) — 0

ce que devient l'équation donnée après chacune de ces adjonctions ; nous allons montrer qu'une seule de ces équations reste irréductible, ce que nous énoncerons sous la forme suivante :

THÉORÈME IT. — Une équation irréductible et résoluble de degré premier ne peut rester irréductible par l’adjonction de plus d’une fonction cyclique.

Je suppose que l'équation (1) soit résoluble et reste irréductible lorsqu'on adjoint au domaine deux fonctions cycliques

(2) y1(To, Vi Lol

(3) ACTE Line. Ti) appartenant à deux groupes différents CG et C; dérivés respectivement des substitutions SL Der):

SE CRE ù HA

et de leurs puissances ; on peut toujours supposer que dans $; les deux premiers éléments æ, et x, sont identiques à æ et æ.

En nous reportant à la chaîne d'équations (2) du $ 64, la première équation

(4) NEC EEE

est une relation entre les racines %o, di, ..., 4, 1 de l'équation (1) lorsqu'on remplace V, par sa valeur en fonction de ces racines et des racines de l'unité, et l’on sait qu’elle reste satisfaite lorsqu'on effectue sur les racines les substitutions du groupe de l'équation ($ 47). D'après le théorème I, le premier membre de l'équation (4) reste invariable pour les substitutions des groupes cycliques C,; et C,; auxquels appartiennent les fonctions (2) et (3), par suite, si l'on écrit la fonction V, sous la forme

V(ti, Ti, .…..) Li, CCC) ms,

lorsqu'on augmente chaque nombre k d’une unité, ou bien chaque indice ?; d'une unité. Comme les nouvelles valeurs de V, ne diffèrent de la première que par une racine p£ de l'unité, on aura, en désignant par w une racine primitive de l'équation #1, —1 = 0, HA PS RE EP A et, en répétant respectivement «a et b fois ces substitutions,

NÉRE TL) UNINES

Lg RO OV. «di, pi. à)

2 tp se : 5) = SV (, ; «Li, à ).

Pour a et b égauxà n, ondoitavoir nr=0 et ns—=0(mod.p,), puisque la fonction V, reprend sa valeur primitive, On peut tou-

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES DE DEGRÉ PREMIER 171 jours supposer, comme nous l'avons dit, que —0 et à = 1; en donnant à # la valeur ?,, on obtient

DANCE DAPRECE A EAU IA ES Tiji ee. ),

d'où la relation

(6) NE 5 à NPA : ) = (as an | 56 Vi, hi, 52 ). SE FRE À : .

Si l’on considère la substitution D ee fé EN OMC) PEN .. ) lu + to la + Li ….. la + x .…..

remplaçant 4 par xt lorsque k varie de O à n—1, elle laisse invariable ?,, puisque ü — 0, et ne porte que sur n—1 éléments; son ordre, que nous désignerons par f, divise (n — 1) ! et est premier avec n ; après { applications successives de Ë aux deux membres de la formule (6), on obtient au second membre la valeur primitive de la fonction V,, de sorte que l’on a

DNA IE" La,s — ar) = 0 (mod. p,).

Considérons alors les trois congruences nr = 0, ns = 0, lis — ar) = 0 (MOMEN) Sirets ne sont pas = 0, il faut que p, = n, et comme ft est pre-

mier avec n, que sa" pour toute valeur de a ; en particulier, DOUTE = INONIANt =MNUONNS== Mel parsulteNt —=u4nquel que soit a; mais cela est impossible puisque les substitutions fondamentales $S, et S; des groupes auxquels appartiennent les fonctions (2) et (3) sont distinctes.

Il faut alors que r et s soient —=0; l'équation (5) montre dans ce cas que la fonction V, est, comme V?,, invariable pour les deux groupes cycliques GC et CG; ; en passant à l'équation suivante

? fi It Ne — F,1(V,, Fe R guuche AE

le second membre appartient à la fois à ces deux groupes, et le même raisonnement montre que V,, jouit de la même propriété; on peut continuer ainsi jusqu’à la racine x, et l’on voit qu'elle s’exprime rationnellement au moyen de y, ou de y;; mais cela est impossible car f(x) aurait alors un facteur æx—x, rationnellement exprimable dans le domaine primitif auquel on adjoindrait +, ou -;,

et l'équation (1) ne resterait pas irréductible après adjonction de : ou de y; contrairement aux hypothèses faites sur ces fonctions, par suite le théorème est démontré. On en déduit le corollaire suivant.

COROLLAIRE. — Si le groupe d’une équation irréductible de degré premier contient comme sous-groupes deux groupes cycliques distincts, l'équation n’est pas résoluble algébriquement.

100. Nous allons démontrer la réciproque : Z'oute équation irréductible de degré premier est résoluble algébriquement si parmi les (n—2)! groupes cycliques distincts, il n’en existe qu’un dont les fonctions laissent, après leur adjonction, l’équation irréductible.

Soit y1(Qo, 21, .…., Xn 1) une fonction cyclique jouissant de cette propriété de laisser, apres son adjonction, l'équation irréductible ; on peut supposer les indices des racines choisis de facon que cette fonction reste invariable pour la substitution

S4 —= (ToL1T2 . ‘ Uno)

et ses puissances ; il existe n —1 valeurs conjuguées de y, s’ex-

primant rationnellement au moyen de l’une d'elles, et leurs fonc-

tions symétriques et cycliques dans un certain ordre appartiennent au groupe métacyclique

PATNE Ne) n —1

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