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Je dis que les fonctions appartenant à ce groupe sont rationnellement exprimables au moyen des éléments du domaine de rationalité.
Considérons l'équation F(y) = 0 de degré (n—1)! ayant pour racines les (n —1)! valeurs conjuguées de y, ; désignons par Y1s Yes Yn1 Celles qui appartiennent au même groupe ; un facteur irréductible de F(y) ne peut s’annuler à la fois pour une des n—1 valeurs précédentes et pour une des autres, par exemple 7,,
car Si F,(r) = (y LU v1)Cy Yn) ….
est un tel facteur irréductible, une de ses racines y, produit par son adjonction au domaine de rationalité une réduction de f(x, R', R’, ...), il en est alors de même des autres, comme nous l’avons vu au $ 39, et en particulier de y;, ce qui est impossible.
Par suite les valeurs 4, ÿ2, ..., Y» 1 doivent entrer, à l'exclusion des autres, dans un ou plusieurs facteurs irréductibles de F(y), de sorte que le produit
CT Net tr a ses coeflicients rationnels ; par suite les fonclions appartenant au groupe M font partie du domaine de rationalité.
Mais nous avons vu au $ 28 que les fonctions y1, ÿ2, .…., Yn 1 SOnt telles qu'une fonction cyclique particulière de ces valeurs appartienne au groupe métacyclique ; par suite on peut, dans le cas actuel, les déterminer en résolvant une équation abélienne de degré n —1; une nouvelle équation abélienne de degré n donne les racines de l'équation proposée, qui se trouve ainsi résolue algébriquement. C'est aussi ce que nous avons vu en exposant les recherches de Lagrange ($ 62). On peut énoncer le théorème suivant :
THÉORÈME IIT. — La condition nécessaire et suffisante pour qu’une équation irréductible de degré premier soit résoluble alqébriquement est qu'il existe une fonction métacyclique faisant partie du domaine de rationalité ; la résolution de l'équation dépend alors en général de deux équations abéliennes successives.
Il est évident que les équations abéliennes rentrent comme cas particulier dans la catégorie précédente.
COROLLAIRE. — Le groupe d’une équation irréductible de degré premier résoluble algébriquement est le groupe métacyclique ou un de ses SOUS-Jroupes .
101. Nous avons démontré au $ 31 que chacune des quantités Loy Li +. T1 est une fonction rationnelle de deux d’entre elles et
d'une fonction métacyclique ; on peut donc énoncer le résultat suivabte
THéorëme IV. — Chacune des racines d’une équation trréductible et résoluble de degré premier est une fonction rationnelle de deux racines particulières quelconques, les coefficients de cette fonction faisant parhe du domaine de rationalité.
Nous allons démontrer la réciproque :
Si les racines d’une équation irréductible de degré premier sont fonctions rationnelles de deux d’entre elles, l’équation est résoluble algébriquement.
Soient Di — 6(%o, ie T3 — 03(%o, DTA ..) Ln-1 — 0 1(To, Xi) les expressions des racines %, %3, .…, %h 1 au moyen de æ et æ, et GNS EU RSS RS RP PA)
le groupe de l'équation; toute substitution de ce groupe laissant x et +, fixes ne peut changer aucun autre élément; on en conclut qu'il ne renferme pas deux substitutions distinctes amenant x, et x à des places déterminées dans la suite x, Z,, ..., %n,. Supposons en effet que $S, et 5, soient deux substitutions remplaçant x; et di par “et 21; le produit #S,SsmMlaissenritelt#ritlixes etise réduite l'unité, de sorte que $S, et S, ne peuvent être différentes.
Les substitutions de G, sauf l'unité, doivent changer au moins un des deux éléments 0, 2, et il Y a nin—1) manières de placer ceux-ci ; si les substitutions S produisent tous les changements possibles de % et x, on a r= nn —1); plus généralement, considérons le groupe G et le groupe formé des substitutions
SM: »> 49 223 (n—2)!
laissant x, et x, invariables et permutant 2, #3, ..., +, de toutes
les manières possibles. Formons un tableau analogue à celui du K 6, constitué par les lignes
SSSR [a = 1,92,...,(n—9)!):
les substitutions qu'il renferme sont distinctes, car celles d’une même ligne le sont, et si l’on avait d'autre part
De fe (RAR):
le produit 5515, — 2,2; serait une substitution de G laissant x, et 2, fixes et se réduirait à l'unité, ce qui est impossible.
D'autre part, ce tableau renferme toutes les substitutions amenant æo et æ, aux places qu'ils occupent simultanément par l'effet des substitutions S, et æ2, æ3, ..., 4, 1 aux autres places dans un ordre quelconque ; par suite il est constitué par les substitutions d'un groupe dont l’ordre est égal à r(n—92)!. Comme cet ordre doit diviser n! c'est-à-dire le produit n(n—1)(n—2)!, on voit que l'ordre r du groupe G est un diviseur de n(n — 1).
Ce groupe doit contenir, comme sous-groupe, au moins un groupe cyclique, d'après le théorème I; je dis qu'il ne peut en contenir
ÉQUATIONS DE GALOIS . 175 deux. Supposons en effet qu’il contienne les deux groupes
C = S: == TTL. : Ke Se APCE 51 — lie
Ci [T: — (HtT. : REX ie Re né es 1]:
Su
les substitutions SŸT? sont toutes distinctes, car si l’on avait
OD AUTANT — San et, r étant choisi de façon que
r(B—3) = 1 (mod. n), on en déduirait
SET de sorte que T,; ferait partie du groupe G, ce qui est impossible puisque ces groupes n’ont aucune substitution commune ; par suite le groupe G contenant C et GC; a un ordre au moins égal à n°, et c'est impossible puisque cet ordre doit diviser n{n — 1).
On conclut de là, d’après ce que nous avons vu précédemment, que l'équation est résoluble algébriquement.
Une équation irréductible de degré premier dont les racines s'expriment rationnellement au moyen de deux d’entre elles s'appelle une équation de Galois (*). On peut dès lors énoncer les résultats que nous venons d'obtenir sous la forme suivante :
THÉORÈME V. — Pour qu'une équation irréductible de degré premier soit résoluble algébriquement, il faut el il suffit qu'elle soit une équation de Galois.
102. Comme exemple de ce qui précède, l'équation binome géné-
rale de degré premier
