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telle que c, ne soit pas la puissance n° exacte d'une fonction du domaine de rationalité, est une équation de Galois.

Elle est d’abord irréductible, car sinon le théorème du $ 65 montrerait que c, est une puissance n° exacte, contrairement à l'hypothèse ; de plus si ses racines sont

—— sp a

(*) Gazoïs, OŒEuvres mathematiques, Journal de Liouville, 1846.

où w est une racine n° de l’unité, on a

( sn

Ty — TX m) ,

Lo ; de sorte que chaque racine est une fonction rationnelle de æ& et a. L’équation est donc résoluble au moyen de radicaux ; ses racines sont du reste le produit du radical Yc, par les racines n“ de l'unité

qui sont elles-mêmes, comme on le sait, exprimables au moyen de radicaux.

° CT E . . (42 Un autre exemple est fourni par l'équation qui donne tg —

connaissant tg a ; elle a en effet pour racines les valeurs

{ a L INTEL, : la +O2T Lo — tg —; x, = Îg , Lo Ne fe 5 1 AMAR 1 DAS à

qui donnent lieu aux relations

T TE d'A) tg — = —————, n L + GX T Tru + is — n Lg = ———— ; 1 tg = Tr LA = ë n

de sorte que x, est fonction rationnelle de x, et x,. Dans le cas de n premier, l'équation est irréductible et se résout par suite au moyen de radicaux.

Lorsque l’on adjoint tg = au domaine de rationalité, l’équa n

tion est abélienne, comme nous l’avons vu au $ 82, car chaque racine est la même fonction rationnelle de la précédente.

103. Nous donnerons pour terminer l'expression des racines d'une équation irréductible et résoluble de degré premier. Nous avons vu au $ 87 que les racines %, 1, ..., %n1 d'une équation de degré premier x s'expriment au moyen des fonctions Yr = D WT, y —0 par le formule n—1 n—1 es D, = Lo + D w A4, ;

tout revient à calculer les fonctions Ÿ. Nous prendrons une racine primitive (mod. n) que nous désignerons par g, et nous supposerons que g*7!— 71 ne soit pas divisible par n°; si nous posons k = g%, q est appelé l'indice de k, ce que l’on écrit sous la forme PARU

Nous avons remarqué que les fonctions 4,4}, que nous avons désignées par v;,, sont des fonctions cycliques des racines ; nous considérerons ici les fonctions analogues

Va = Vote IE SPRICE EOT ENT ce sont des fonctions cycliques de %o, 4, ..., % 1 appartenant au même groupe, et s'exprimant rationnellement au moyen de l’une d'elles. Une fonction cyclique des n—1 quantités y est une fonction métacyclique des racines +, et par suite s'exprime rationnellement au moyen des coefficients de l’équation; on peut ajouter qu'elle est indépendante de la racine w, car le changement de w en wŸ transforme simplement y; en y:,1; par conséquent y, Ya, ..., Yn-1 sont les racines d'une équation abélienne de degré n—1 dont les coefficients sont rationnels et dépendent seulement de ceux de l'équation.

Si l’on forme le produit

gn—2

LE (PAT AP PRE s.Va-n+2 :

(1 en. Chris n

deux nombres s et b sont convenablement choisis, le second étant ET: . ï . —$ al

positif, le produit P est la n° puissañce de 4,1. Comme on a

Q r ° 3 —1 . , A il se réduit à de : si l’on pose — —sn+ gl, où les

| jb b—1 — 9 (7) q ï got = Vu Ja a+1e + Yars

il en résulte l'égalité suivante ! — 457 g Die Dir Pt onto Va+0Ya+0—1 Qu Va+i ° Le facteur de P * au second membre est une fonction cyclique que l’on peut exprimer en fonction rationnelle de y,; si on la représente par F(y,), il vient 2 n—2 ue al — J 9 Er le a+ AUAIEA PETER R sys a Le ?

les indices et les exposants peuvent être réduits à leur plus petit reste positif (mod. n), en modifiant la fonction F.

VOGT. —— RÉS. ALG, 12

Cette fonction est indépendante de w, car le changement de w en uw revient à augmenter a d’une unité; comme la formule précédente est vraie quel que soit a, les coeflicients de F ne peuvent être altérés par ce changement.

Nous avons ainsi déterminé les fonctions Ÿ; remarquons toutefois que les quantités y, qui sont racines d’une équation abélienne de degré n—1, ne sont pas entièrement déterminées, et qu'on peut représenter par 7%, l’une quelconque d’entre elles, les autres étant déterminées par cela même ; nous pouvons donc sans inconvénient remplacer au second membre a par a<+b et poser a+ b = q = ind. #. D'autre part un des facteurs du second mem-

C2 £. : , bre tel que y}, peut encore s’écrire Yfind. —ind.g OU ÿ'ind. — ?

si B—=g (mod.n); on peut donc écrire finalement

Une = F(yiner) LT 7».

Telle est la formule donnée par Kronecker et reproduite dans l'A lgèbre supérieure de Serret ; les quantités y sont les racines d’une équation abélienne de degré n—1 à coefficients rationnels et F est une fonction rationnelle.

On démontre que les racines déterminées au moyen des fonctions précédentes par la formule

n—1 ni » wok Q,

E==0 sont celles d’une équation résoluble de degré n quelle que soit la fonction F et l'équation abélienne dont Yi, Ya, ..., Yn1 Sont les racines.

Par exemple dans le cas de n —5, prenons pour racine primi-

HYCHe DOM NUE CE MON g = 1, g = 2, g = À, gÿ = 3, JAN MOUNDIE de sorte que l’on obtient

= F(y)ys y yes, et des expressions analogues pour 4, Wet VW; Yi, Ya, yset y; ont les valeurs que nous avons déterminées au K 89 en cherchant les racines d'une équation abélienne du quatrième degré.