CHAPITRE XII

404. Nous avons vu au $ 45 que chaque équation est caractérisée par un groupe particulier de substitutions G satisfaisant aux conditions suivantes :

Toute fonction des racines numériquement invariable pour les substitutions du groupe s'exprime rationnellement au moyen des éléments du domaine de rationalité, et, réciproquement, toute fonction des racines s'exprimant rationnellement reste numériquement invariable pour les substitutions du groupe.

L'étude de ce groupe est le fondement des recherches de Galois sur les équations algébriques, et le 7raité des Substitutions de M. Jordan, où elles sont exposées en même temps que celles de l’auteur, montre l’heureux parti que“l’on peut tirer de la théorie des groupes dans les recherches algébriques ; nous n’exposerons pas ici tous les résultats donnés par M. Jordan, et nous renverrons à son œuvre magistrale ceux qu’intéressent ces questions difficiles ; nous ne pouvons cependant nous dispenser d'indiquer les principales applications de la théorie des groupes à l'étude des équations.

Nous avons démontré au $ 48 le théorème suivant :

THéORÈME 1. — Toute équation irréductible a son groupe transitif, el réciproquement.

Nous énoncerons encore la propriété suivante :

THÉORÈME Il. — L'ordre d’un groupe transitif est un multiple de son degré.

Considérons en effet les substitutions laissant un élément. tel que x, invariable, et désignons-les par S:, S:, ...,S,r; d’après la propriété du groupe d’être transitif, il existe au moins une substitution

2, remplaçant 2 par 2, et de même des substitutions 2, ..., », remplaçant x par %:, ..., æ,. En représentant par X, la substitution unité, formons le tableau

Si, Sa , …..) Sr' 2

Die, S2Èn, .. SA

analogue au tableau (4) du $ 6 ; en répétant un raisonnement connu, on voit que les substitutions de la seconde ligne sont distinctes et distinctes des premières, remplacent +, par æ, et que ce sont les seules jouissant de cette propriété ; de la même manière celles de la troisième ligne remplacent x, par æ:, et ainsi de suite. Ce tableau renferme toutes les substitutions du groupe donné, de sorte que l’ordre de ce groupe est égal à r’n; on voit qu'il est un multiple du degré n.

Si r” est égal à l'unité, il n'existe aucune substitution laissant un élément quelconque invariable, à part la substitution unité, et réciproquement ; on peut donc énoncer ce corollaire :

COROLLAIRE. — Un groupe transitif dont l’ordre est égal au degré ne renferme aucune substitution autre que l’unité laissant un élément invariable, et réciproquement ; il contient une et une seule substitution remplaçant un élément par un autre donné à l'avance arbitrairement.

Un groupe cyclique composé d’une substitution circulaire et de ses puissances jouit de la propriété que nous venons d’énoncer. Un autre exemple nous est fourni par la considération de l'équation résolvante de Galois ; nous avons vu qu'à chaque groupe G d’ordre » relatif à une équation de degré n correspondent r valeurs di, L, ..., VW, de la fonction de Galois, constituant les racines de l'équation résolvante ($ 45 et 46); à chaque substitution du groupe G effectuée sur les éléments 21, 2%, ...,æ, Correspond une substitution effectuée sur les 7 éléments L; les r substitutions ainsi formées sur ces derniers sont celles d’un groupe G dont l’ordre est égal au degré, et jouissent des propriétés énoncées dans le corollaire précédent.

Les deux groupes G et G’ ont entre eux une dépendance mutuelle caractérisée par ce fait qu'à chaque substitution de l’un correspond une et une seule substitution de l’autre, et au produit de deux substitutions du premier correspond le produit des deux homologues du second et réciproquement. Deux tels groupes sont appelés isomorphes ; on peut donc dire que tout groupe transitif d'ordre r est isomorphe à un groupe de même ordre, dont l’ordre et le degré sont égaux.

405. Une propriété des groupes transitifs est la primitivité ou la non-primitivité. On dit qu'un groupe transitif G est non-primitif si l’on peut ranger les éléments 1, æ, ..., æ, en plusieurs séries d'un même nombre de lettres

(Boys Payne La)» (Le ESS Te)» Nu telles que chaque substitution du groupe permute entre elles les lettres de chaque série ou les remplace toutes par celles d'une autre série ; le groupe sera dit primitif s’il n’est pas possible de grouper les éléments de cette façon.

Un groupe de degré premier est primitif ; un groupe cyclique de degré composé n, formé par les puissances d’une substitution circulaire d'ordre n est non-primitif ; soit par exemple pour six éléments le groupe cyclique

G = (1, (nm), (mmm)(rmurs), (mini)(aims)(xsts), x (its) (ttite), (Mi TETE Tata 2) | ;

on peut prendre les deux systèmes (as, æ, #3), (22, d&, 6) Ou bien encore les trois systèmes (au, 24), (de, &5}, (3, æ6); ils jouissent de la propriété énoncée relativement aux substitutions du groupe G.

Les substitutions d'un groupe non primitif peuvent être mises sous forme d’un tableau de la manière suivante : Composons une première ligne au moyen des substitutions qui laissent les éléments de chaque série invariables, ou les permutent entre eux, mais non avec ceux d'une autre série; soient

EN 51 S2; DNONOK Sn

ces substitutions. Soit maintenant Ÿ, une substitution changeant au moins un élément d’une série dans un autre d’une autre série ;

les produits

SD, Sad, . SZ

sont distincts l’un de l’autre et des premières substitutions ; ils formeront une deuxième ligne ; si toutes les substitutions ne sont pas épuisées, on prendra une nouvelle substitution X,, et les produits de S,, S, ...,S, par 3:, et ainsi de suite; en répétant un raisonnement connu, on peut mettre toutes les substitutions sous forme d’un tableau identique au tableau (4) du $ 6 ; l'ordre r du groupe est égal à ro.

On peut ajouter que le groupe GS es)

est un sous-groupe invariant de G, de sorte que tout groupe non primitif est en même temps composé. De la même manière, les groupes H;, H:,... formés des substitutions qui ne changent que les éléments de chacune des séries successives, en laissant invariables ceux des autres, sont des sous-groupes invariants de G et de G,; et sont semblables.

406. TuéorèmEe II. — L’équation de degré mm; que l’on obtient en éliminant y entre deux équations irréductibles,

(4) qa(y) = ya + My + am, = 0, (2) Qu(t, ÿ) = Au + bify aa + by) = 0,

a un groupe non primihif, et, réciproquement, loute équation de groupe non primilif est le résultat d’une semblable élimination.

Soit, en effet, y, une des racines de l'équation (1) ; l'équation à laquelle satisfait x est

(3) f&) = Loir, Ya) = 0.

Soient Tor eLoas 05 Tam LES TACINES de AE, 2) OP NIOUTE fonction symétrique F,; de ces racines est rationnellement exprimable au moyen de y, et toute fonction symétrique de F,, KE, .. , F,,..., Fn, est rationnelle dans le domaine des coefficients de l’équation (1); par suite toute fonction des racines restant invariable quand on effectue les substitutions qui changent entre elles les racines de chacune des séries

(4) Dar Ue0, » er lES (REMPORTE) ou les permutent avec celles d’une autre série, et cela de toutes les manières possibles, est rationnellement exprimable; le groupe com-

posé de ces substitutions n'est pas primitif; comme les fonctions

des racines qui lui appartiennent sont des fonctions rationnelles des coefficients de l'équation, il est identique au groupe de l'équation (3) ou le contient comme sous-groupe ; dès lors ce dernier jouit de la même propriété.

Réciproquement, soit G un groupe non primitif relatif à une équation irréductible, et soient (4)les m, séries de m, éléments qui entrent dans les substitutions du groupe ; considérons les fonctions symétriques des racines de chaque série

Ya == géné Ty, ... Lam) ; elles restent invariables ou se permutent les unes dans les autres

par les substitutions de G; par suite le produit

Paly) = (y — Ya)(y — Ya). (y — Yms) est invariable pour le groupe G et a ses coefficients rationnels dans le domaine. Lorsqu'on a déterminé une racine y,, on peut calculer toutes les fonctions symétriques des racines œu, æ», ... et former l'équation Ai®, Ya) = 0 dont elles dépendent. Comme on a

f(x) = Igi(e, Ya), l'équation donnée résulte de l'élimination de y entre deux équations de la forme (1) et (2).

Nous avons rencontré un exemple d'une équation dont le groupe n'est pas primitif lorsque nous avons résolu l'équation abélienne simple de degré composé n. Le groupe de cette équation est formé de la substitution circulaire d'ordre n et de ses puissances; il n'est pas primitif, et si n— num, la résolution de l'équation se fail au moyen de deux équations successives de degrés m, et m. Le groupe d'une équation abélienne quelconque de degré composé jouit de la même propriété. 7

107. Considérons une équation de groupe G, o(d, %, ..., Æn) une fonction des racines appartenant au groupe, et (71, +, ..., dn) une autre fonction quelconque des racines appartenant numériquement à un groupe G,; lorsqu'on adjoint cette deuxième fonction au domaine de rationalité, c’est la fonction ue<+we qui est rationnellement exprimable dans le nouveau domaine, et toute autre jouissant de cette propriété peut être exprimée rationnellement au

moyen de uo—wv, et des coefficients ; il en résulte que le sroupe de l'équation est celui de cette dernière fonction, et il se compose des substitutions communes aux groupes G& et Gi. Plus généralement, l’adjonction de plusieurs fonctions des racines au domaine de rationalité réduit le groupe de l’équation aux substitutions communes au groupe primitif et à ceux auxquels appartiennent les fonctions adjointes.

On voit de cette façon quel effet produit sur une équation l’adjonction de racines d'équations résolvantes successives ; l'équation reste irréductible ou se réduit suivant que le nouveau groupe est transitif ou non. Le problème de la résolution d’une équation générale ou spéciale peut alors être envisagé de la manière suivante : Chercher des fonctions des racines fournies par des équations résolvantes, dont l’adjonction réduise peu à peu le groupe de l'équation à la substitution unité; lorsque ce résultat est atteint, l'équation est résolue, car la fonction de Galois dont le groupe est constitué par cette seule substitution est déterminée, et l’on en déduit les racines elles-mêmes.

C’est précisément la marche que nous avons suivie dans la résolution des équations du troisième et du quatrième degré par la méthode de Lagrange.

Dans le cas de l'équation du troisième degré générale, ayant pour groupe le groupe symétrique, l’adjonction d’une fonction alternée ou de la racine carrée du discriminant le réduit au groupe alterné ; celle de la racine cubique d'une fonction alternée particulière le réduit ensuite à l'unité, et l'équation est résolue.

En ce qui concerne l'équation du quatrième degré, de groupe G ($S 54), l’adjonction d’une racine +, de l'équation résolvante de Lagrange le réduit au groupe G; celle d’une racine #, de l'équation

P—vi+ oc: 10

le réduit ensuite au groupe 9,1. Ge dernier groupe n'est pas transitif et l'équation se décompose dans le nouveau domaine de rationalité, en deux autres ayant pour racines l’une x, et 2%, l’autre 2, et æ.

Lorsque le groupe d’une équation n’est pas primitif, comme celui que nous avons considéré au K précédent, l’adjonction de la racine y, de l'équation vw:(y) = 0 le réduit au groupe dont les substitutions permutent entre eux les m, éléments

Lots Dassi ee Lam)

ou bien les mifm —1) autres, mais non les premiers avec ceux-ci; ce dernier groupe n'est pas transitif et l'équation est réductible, l’un des facteurs du premier membre étant ox, y,).

Nous indiquerons une application importante des considérations qui précèdent.

THÉORÈME IV. — Si une équation irréductible jouit de la propriété que toutes ses racines s'expriment rationnellement au moyen de l’une d'elles, elle a un groupe transitif dont l’ordre est éqal au degré, et réciproquement.

Soient en effet 21, 2, ..., &, les racines d'une équation irréductible de degré n; supposons qu'elles s'expriment rationnellement au moyen de l’une d'elles +,, et que l’on ait

La — af), La Oa(21), ……..) Tn — Di(xi) ;

le groupe de cette équation est transitif, puisque l'équation est irréductible ; ses substitutions ne doivent pas changer les relations précédentes, par suite celles qui laissent x, invariable ne peuvent altérer æ:, ds, ..., æ,. Il n'existe que la substitution unité jouissant de cette propriété; dès lors, d'après les raisonnements que nous avons faits au $ 104, l’ordre du groupe est égal à son degré.

Réciproquement, supposons que le groupe d’une équation de degré n soit transitif et ait son ordre égal à son degré ; cette équation est d’abord irréductible ; de plus, si l’on adjoint au domaine de rationalité une racine quelconque telle que x,, son groupe se réduit à celles de ses substitutions laissant x, invariable, c'està-dire à la substitution unité; après cette adjonction, la fonction de Galois est rationnellement exprimable, et les racines de l'équation sont toutes des fonctions rationnelles de 1.

Ce raisonnement nous montre de plus que si les racines d’une équation irréductible sont des fonctions rationnelles de l’une d’entre elles, elles s'expriment aussi rationnellement au moyen. de l’une quelconque des autres. |

L'équation résolvante de Galois et les équations abéliennes nous donnent des exemples des considérations précédentes.

108. Le groupe d’une équation abélienne générale irréductible est un groupe cyclique simple ou à plusieurs entrées ; il est transitif,

a son ordre égal à son degré, et de plus ses substitutions sont échangeables, c’est-à-dire que deux quelconques d’entre elles $, et sont telles que l'on ait S,S, — S,S,. Celui d'une équation abélienne quelconque, irréductible ou non, telle que nous l'avons définie au K 83, jouit aussi de la propriété d'avoir ses substitutions permutables ; nous allons démontrer la réciproque.

THÉORÈME V. — T'oute équation dont le groupe est formé de substitutions échangeables est une équation abélienne.

Pour cette raison, nous désignerons un tel groupe sous le nom de groupe abélien.

S'il n’est pas transitif, et si l’on décompose le premier membre de l'équation en facteurs irréductibles, les groupes des équations partielles obtenues sont formés d’une partie des substütutions du groupe total et sont encore abéliens ; il nous suffit donc de nous limiter aux groupes transitifs.

Reprenons le tableau du $ 104 et désignons par S, une substitution quelconque laissant x, invariable ; pour que cette substitution soit échangeable avec E,, c'est-à-dire que l'on ait SX = 25, il est nécessaire qu'elle n'altère pas l'élément 2, comme on le voit immédiatement ; pour la même raison, $S, ne peut être permutable avec 23, ..., 2 que Si elle laisse invariables x:, ..., æ,, C'est-à-dire si elle se réduit à l’unité ; de cette façon r' est égal à l'unité, et le groupe a son ordre égal à son degré. D'après le théorème IV, toutes les racines de l'équation sont fonctions rationnelles de l’une d'elles, et l’on a par exemple

La — 6:(x:), T3 — 03(2), 0) Tn — 0, (x).

S1 les subsütutuions set Nremplacant r nparer"eter Sont échangeables, il en est de même des fonctions 6, et 6,; on déduit de là que toutes les fonctions 0 sont permutables, et que l'équation est abélienne, ce que nous voulions démontrer.

Les raisonnements que nous avons faits aux $ 84 et 85 nous montrent qu'un groupe abélien est, pour une notation particulière des éléments, un groupe cyclique à une ou plusieurs entrées. Nous pouvons du reste étudier directement un groupe dont les substitutions sont échangeables par la méthode qui nous a servi à réduire les fonctions 0 au nombre minimum d'éléments ; les raisonnements sont les mêmes, et nous pouvons énoncer ce résultat :