LXXXII

TÉTRAÈDRE -i-, SON REFROIDISSEMENT.

La série (19), limitée aux termes dans lesik}uels les entiers (/, i\ i") ont même parité, n'exprimera particulièrement la loi du refroidissement du cube, que si les températures primitives sont symétriquement égales et de signes contraires, par rapport à chacun des six plans diagonaux (i3) et (29); Tétat initial, d'ailleurs quelconque, d'un seul des vingt- quatre tétraèdres découpés par ces plans, assignera donc celui des vingt-trois autres. De là résulte que la même série limitée exprimera généralement, ou pour tout état ini* tial, le refroidissement du premier tétraèdre (OÎIFB), lorsque ses faces

(3o) z = o, z=zxy y-^zxy yz=a--Xj

seront entretenues à la température zéro.

Ce quatrième polyèdre, que nous appellerons le tétraèdre -7 , peut être traité dfrectemenl, en lui appliquant la

marche générale du § LVII. Chaque terme simple de la série (19), et conséquemment cette série elle-même, vérifient Téquation générale (i) (§ LVII). Chaque facteur U (18), composé avec des fonctions (7) où les entiers (/, i', V') ont même parité, satisfait aux conditions de la surface, puisqu'il est nul sur les quatre faces (3o). Le coefficient M a la valeur générale (ai), où le signe symbolique des intégrations est acluellçraent

Jr /•2 r^a—x ^x

I r/ fj . . . = I dx ï dy j dz. . . .

ts %/o %/X t/O

Toutefois, le dénominateur de M (21) s'obtient plus

TÉTRAÈDRE 77. * l45

simplement en étendant rintégiatiou au volume entier du cube, et divisant le résultat par 24 : car le carré U' retrouve la même valeur positive dans les vingt-trois autres tétraèdres. Or, comme on l'a vu au § LXXEX, l'intégration, faîte dans le cube, du carré de U (18), développé et multi-

plié par <io, donne six fois la fraction -^ \ le dénominateur

actuel ne sera donc plus cette fraction même^ mais son quart; d'où

(32) M=^^ Ç^ dx Ç" cfy Ç dz.fV.

Et, avec cette valeur donnée à ses coefficients, la série V (19), limitée aux termes où (/, i\ i") ont même parité, donnera la loi du refroidissement par communication du

tétraèdre ~r ayant les faces (3o), quand la copnaissance

de l'état initial f permettra d'effectuer les intégrations indiquées.

n importe de remarquer que cette série limitée comprend deux séries partielles, Tune ceà les (1, i', if') sont tous pairs, l'autre où ces nombres sont tous impairs. Si la première existait seule, V s'annulerait évidemment, quel que soit t,

pour Ix = -j j = -i z = -|>ou sur les plans menés par

le centre du cube parallèlement à ses faces 5 et alors le plan

y = - partagerait le tétraèdre -7 que nous considérons en

deux tétraèdres symétriques (respectivement égaux à deux

tétraèdres ^ symétriques, du cube de côté - | ? et dont les températures seraient égales et de signes contraires, par rapport au plan j- = — D'où l'on conclut que, si l'état ini-

l46 HUITIÈME LEÇON.

liai du Ictraèdre -7 apporte une symétrie calorifique directe par rapport au plan j^ = -» la première série partielle disparaîtra nécessairement [par raunulation de Tintégrale (Sa)], et il ne restera que la seconde.