VÉRIFICATION DE L'ÉQUATION A LA SURFACE

Ou i^eut regarderies [p^ //, p"), introduits dans W (^4), comme formant un autre système de trois coordonnées, vérifiant la relation

i\ue donnent les équations (a3) d'après F identité (12). Ces coordonnées, toujours positives à Fintérieur du triangle équilatéral, ne sont autres que les perpendiculaires abaissées d'un même point sur les trois côtés. Avec ce système, les équations des côtés sont [p = o, /?' = o, p" ^=: o). De là résulte que W (24) est nul sur le périmètre de la base : car, par exemple, lorsque ^ = o, le premier terme s'évanouit, el le troisième détruit le second, puisque p" = ^r — p\ d'après Féquation (26).

Revenons maintenant aux fonctions conjuguées (22), dans lesquelles les entiers (X, jut, v) sont inégaux, de telle sorte qu'aucune des différences

(27) p. — V = >,, V — \=p,, X — fX = V,,

^ ne soit nulle. La demi-somme et la demi-différence des

PRISME TftlAMGlILAIRE KÉGLLIËR. l6l

deux arcs Aj et A3 ( -i i), où la coordonnée P a le même facteur A, sqnt, en observant que ([i H- v) (P-f- P*') est égal à AP, d'après les équations (1 '2) et (18), et introduisant, pour simplifier, X| (27) :

Le double du sinus du premier des arcs (^8), successive-^ ment multiplié par le sinus et le cosinus du second, donnera respectivement la diflérence (ci — c\) pour Uj, et la somme (.^iH-^'a) pour u^. Le couple (Ai, A',) où P a le facteur (jt, et le couple (As, A',) où P a le facteur v, don-? neront des résultats homologues. Et Ton aura définitivement

sin ^ (P -tr 2r) sin ^ (P'- P'M 3/* gr ^ .'

tt, = 2^ H- sin^ (PH- 2/-) »in Î^{P'— P'')

- sin ^ ( P -h 2 r) sin — ( P' - P'M ; 3r^ ' g''

sin — (P -H 2 r cos -L .'p' — p'' ) 3r' gr ^ ^

«,= 2] -H sin^ (P -h 2r) cosî^ (F — P") ^ 3r/ 9''

- sin yi (P -+- 2 r) cos — (F -- P").

Or (X, |:x, v) étant des nombres entiers, ces valeurs (29) s'annulent quand P = r; car le premier facteur de chaque ligne devient le sinus d'un multiple de tt. Donc les fonctions Ml et 1/2 (22) vérifient la première (i4)» Les arcs (A3, A',) où P a le facteur A donnent^ en rem-

id'A >Fi:VlÈME LEÇO>.

plaçant (/[/.-f-v) (P + P) par /P', et 3 (y H- v) /• par — 3Xr, la première du groupe

A. -4- A', ur ,

les deux autres s'obtenant de la même manière. Les sinus de ces demi-sommes entrent respectivement comme facteurs, dans les trois différences (v^ — c,), (c', — c, ), (cj — c,), composant ii, , et dans les trois sommes (s^ H- ^', ) , {^i + *', )i (Sf-\- y,), composant i/,. Or ces sinus s'annulent avec leurs arcs quand P= r; donc les fonctions m, et.iij vérifient la seconde (i4)« En groupant les arcs (21) par les facteurs de V\ on constate pareillement que «i et u^ s'évanouissent ({uand P''= r.

§ XCl.