FORMULE GÉNÉRALE DES COEFFICIENTS

Ainsi tous les facteurs (W, Wi, u^) vérifient le groupe partiel (i4)i ^^ puisque les sinus en z s'annulent sur les deux bases, la fonction V (26) satisfait au groupe com-' plct (i3) de Téquation à la surface. Celle fonction (25) exprime donc la loi intégrale du refroidissement par communication du prisme triangulaire régulier. Il reste à déterminer les coefficients (N, Mj, M^) quand Pétat initial f est donné. S'il s'agit d'isoler N, le théorème général du § LVIII suffit^ mais pour isoler M, et M,, il faut y joindre ce lliéojème particulier que, a, et 1/2 étant les deux fac-

PRISME TRlANGULàlRE RÉGULIER. l63

leurs (as) correspondant au même â', Tîntégrale

est zéro. En effet, sur l'axe OP on a évidemment P' = P", et m, m' étant deux points sjmétri<}iieiiient placés par rapport à cet axe, pour passer de m à m\ comme on le reconnaît facilement, il suflSt de changer V en F' et P^ en P; alors, i/j (29) reste le même, tandis que iij change de signe en conservant la même valeur absolue; l'int^rale précédente est donc nulle, comme étant composée d'éléments, positifs et négatifs, en même nombre et qui se détruisent. De là résulte la formule générale

dts.ï'OûniTT-j,

«vr. -^^

/ dra.'O^sm^in^

DU étant successivement (N, Mj, Mj) quand XD est respectivement (W, Uj, i/,). Le signe des intégrations se décompose

ainsi

' dfT...

J\ dm, • = I ^^ M

//(jetant un élément de surface^ et / indiquant une inté-

. I indiquant

gration faite sur tout le triangle équilatéral. D'où résulte la formule définitive

Jf dz,ÇdfT.ît)sk

)smi7r- (3o) ^>^=T-

l64 NEUVIÈME LEÇON.

en remplaçant, au dénominateur, l'intégrale définie en z

h par-.

§ XCIL