GROUPE COORDONNÉ POUR LES INTÉGRATIONS
On peut prendre pour d(j\e parallélogramme élémen-> taire, formé par des parallèles aux côtés (p' = o, p'' = o), dont la hauteur est dp", et la base le quotient de dp^ par
sin-^*, ce qui donne
Il faut ensuite exprimer les fonctions (t), f) à l'aide des deux seules coordonnées p' et p"^ en y faisant
Enfin, regardant p' comme constant, on intègre d'abord en /?" depuis le côté p" = o, jusqu'à celui p = o, où p" = 3 r — p^'^ puis on intègre en p^ depuis le côté p^ = o, jusqu'au sommet opposé, où p' = 3 r. De telle sorte que
Toutefois, pour obtenir le dénominateur de (3o), on peut étendre l'intégration en p"^ comme celle en p\ de o à 3 r, et prendre la moitié du résultat, ou
(33) p(T.t)' = -l r ^^dp' C '^ dp'^XDK
Car, le plan P = 7* étant à zéro, la symétrie calorifique inverse existe de part et d'autre, de ce plan^ §LXXXIV, et t!)*
PUISME TRIANGULAIRE RÉGULIER. l65
retrouve les mêmes valeurs positives dans les deux moitiés du losange dont le côté P = r est la diagonale. Au lieu du couple coordonné [p\p")^ on peut prendre, ou (p", p)^ ou (p-) p')' D'après cela le dénominateur de N se calcule facilement.
En effet, quand t) est W (24), l'intégrale totale (33) se compose de trois intégrales partielles aux carrés des sinus, et de trois autres aux doubles produits^ or, en changeant le couple coordonné de l'une à l'autre, on voit que les trois premières doivent avoir une même valeur, ainsi que les trois dernières, et puisque
Jo Vo .3'- ^ Jo 3r
l'intégrale totale se réduit à trois foi s le produit de -^ par^— ; on a donc
Ainsi la valeur générale (3o), pour le coefficient N , est
(34) N = i— r dz fd
gr^h^3 Jo J<j
Le calcul direct de l'intégrale totale (33) quand tD est «1 ou Wgî est beaucoup plus long. Il faut d'abord exprimer les arcs ('21) enp\p", A l'aide des formules de transformation (3i)^ de la relation (12), et en introduisant les différences (Xj, |:xj, v,) (27), on trouve
4 / ^, Ocr.fWsin/TfT-
l66 NEUVIÈME LEÇON.
Il importe de remarquer ici, que les équations posées {a^) conduisent aux relations
desquelles les trois dernières établissent la congi*uence multij>Ie
(3«j) X.^pii^v, (mod.3).
Les trois nouveaux nombres entiers (À|, fx^, Vi), desquels on au moins est négatif et aucun n est zéro, ont donc leur somme nulle, comme les (X, jui, v)*, mais ils s'en distinguent essentiellement par cette propriété, qu'étant divisés par 3, ils donnent tous le même reste (ouo, ou -h i, ou -h a).
§ XCIH.
ÉVALUATiœ^ DU DÉNOMINATEUR.
Avec Ui ou M, (aa) au lieu de tD, l'intégrale totale (33) se compose de dix intégrales partielles aux carrés des cosinus ou sinus, et de quinze autres aux doubles pixxluits. Comme on pouvait le présumer, ces dernières étant réunies donnent toujours zéro, et les six premières conduisent à la valeur totale gr'VS. Constatons d'abord ce dernier fait. La double intégration (33) relativement au carré du cosinus ou du sinus de l'arc Ai (35), peut s'indiquer ainsi
En l'ellcctuanl, on a, pour le premier terme i de la paren-
PRISME TRUAGUI.AIRE Rlt<;LLIl':U. iGj
ihese, — -=-, ei pour le second
iTT
ou bien, en remarquant que le premier lerme de la dernière parenthèse est Funité d'après une des relations (36), que le second et le troisième ont une même valeur, — y, d'après la congruence multiple (37), plus simplement
Cette dernière partie est nulle quand 7=1, c'est-à-dire quand les (i|,pi, v,) sont congrus à zéro, ou tous divisibles par 3.
Si cela n'est pas, répétant la même suite d'opérations sur chacun des carrés des cosinus ou sinus des autres arcs (35), puis additionnant les six résultats, on aura évidemment
et la seconde partie de cette expression s'évanouit, puisque aucune des difTérehces(Xi, p,, V,) n'est nulle tandis que leur somme l'est. Des conclusions semblables à cette dernière, et auxquelles on arrive par des calculs analogues aux précédents, démontrent la disparition des quinze intégrales partielles aux doubles produits, soit isolées, soit réunies, suivant les trois cas de la congruence multiple (Sj). Cette dernière démonstration, inévitablement longue, ne rencontre aucune difficulté nouvelle. On a donc définitivement
(38) fdfj . u] = ÇdG . u\ =^ 9/'^ v/3.
l68 NEUVIÈME LEÇON. — PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER.
Ainsi quand tD est Mj ou m,, la valeur générale (3o) donne, pour Ml ou M,,
(3q) M; = ;= f dz I dtT.ÏUisinin 7-
Enfin, avec les expressions (34) et (39) de ses coeflScients, la fonction V (25) permettra d'évaluer, numériquement, les températures variables des points du prisme triangulaire régulier, totalement immergé dans un bain à 2iéro, quelque compliqué que soit l'état initial.
PRISME TKIANGLLAIRE HÉMIRÉGULIER. 169
PRISME TRIANGULAIRE HÉMIRÉGULIER.
Refroidissement par communication du prisme triangulaire 1»«mirégulier.
— Cas de l'état initial constant du prisme régulier, et de Thémirégulier.
— Refroidissement lorsque les faces latérales sont imperméables.
